Рассмотрим задачу пошагово:
Дано:
- Расстояние между пунктами А и В: ( S = 240, \text{км} )
- Первый автомобиль выехал из А и поехал в В.
- После 1 часа (время ( t_1 = 1, \textч )) из А выехал второй автомобиль.
- Скорость второго автомобиля больше скорости первого на 20 км/ч: ( v_2 = v_1 + 20, \text{км/ч} )
- Время поездки второго автомобиля: ( t_2 ) — время после его выезда до прибытия в В.
- В итоге оба автомобиля прибывают в В одновременно.
Шаг 1. Обозначим скорости
Пусть скорость первого автомобиля ( v_1 ) (км/ч). Тогда скорость второго автомобиля:
[ v_2 = v_1 + 20 ]
Шаг 2. Время в пути для каждого автомобиля
- Первый автомобиль стартовал сразу и добрался за время ( T_1 ).
- Второй — стартовал через 1 час и добрался за время ( T_2 ).
Обозначим:
- Время пути первого автомобиля: ( T_1 )
- Время пути второго автомобиля: ( T_2 )
Поскольку оба прибыли одновременно, их времена поездки связаны следующими равенствами.
Шаг 3. Запишем уравнение для первого автомобиля
Первый автомобиль проехал 240 км за время ( T_1 ):
[ v_1 \times T_1 = 240 ]
Отсюда:
[ T_1 = \frac{240}{v_1} ]
Шаг 4. Запишем уравнение для второго автомобиля
Время второго автомобиля с момента его выезда — это ( T_2 ).
За это время он проехал 240 км:
[ v_2 \times T_2 = 240 ]
то есть
[ T_2 = \frac{240}{v_2} = \frac{240}{v_1 + 20} ]
Но второй автомобиль стартовал спустя 1 час после первого, значит его фактическое время в пути — это:
[ T_2 = T_{общ} - 1 ]
Так как они прибыли одновременно:
[ T_1 = T_2 + 1 ]
или, подставляя выражения:
[ \frac{240}{v_1} = \frac{240}{v_1 + 20} + 1 ]
Шаг 5. Решим уравнение относительно ( v_1 )
[ \frac{240}{v_1} - \frac{240}{v_1 + 20} = 1 ]
Обозначим:
[
\text{Левое выражение:} \quad \frac{240(v_1 + 20) - 240 v_1}{v_1(v_1 + 20)} = 1
]
Раскроем числитель:
[
240 v_1 + 240 \times 20 - 240 v_1 = 4800
]
то есть:
[
\frac{4800}{v_1(v_1 + 20)} = 1
]
Теперь упростим уравнение:
[
v_1(v_1 + 20) = 4800
]
Распишем:
[
v_1^2 + 20 v_1 = 4800
]
Перенесем в стандартную форму:
[
v_1^2 + 20 v_1 - 4800 = 0
]
Шаг 6. Решим квадратное уравнение
Обозначим:
[
a = 1, \quad b = 20, \quad c = -4800
]
Дискриминант:
[
D = b^2 - 4 a c = 20^2 - 4 \times 1 \times (-4800) = 400 + 19200 = 19600
]
Корень дисперминанта:
[
\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140
]
Найдем корни:
[
v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm 140}{2}
]
Варианты:
- (\displaystyle v_1 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60, \text{км/ч})
- (\displaystyle v_1 = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80, \text{км/ч})
Отрицательная скорость невозможна, значит:
[
v_1 = 60, \text{км/ч}
]
Ответ:
Скорость второго автомобиля:
[
v_2 = v_1 + 20 = 60 + 20 = 80, \text{км/ч}
]
Итог:
Вторая машина едет со скоростью 80 км/ч.
