Реши все
Давайте разберем все задания по порядку. Я подробно объясню каждый из них.
Задача 1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем.
a) \(\frac{1}{2^5}\)
b) \(\frac{1}{10}\)
c) \(\frac{1}{x^6}\)
d) \(\frac{1}{a}\)
e) \(\frac{1}{23^4}\)
Решение:
- Для дроби вида \(\frac{1}{b^n}\), можно записать как \(b^{-n}\).
a) \(\frac{1}{2^5} = 2^{-5}\)
b) \(\frac{1}{10} = 10^{-1}\)
c) \(\frac{1}{x^6} = x^{-6}\)
d) \(\frac{1}{a} = a^{-1}\)
e) \(\frac{1}{23^4} = 23^{-4}\)
Задача 2. Замените степень с целым отрицательным показателем.
a) \(7^{-3}\)
b) \(2^{-1}\)
c) \(y^{-10}\)
d) \(b^{-1}\)
e) \((3a)^{-4}\)
Решение:
- Для отрицательной степени \(b^{-n} = \frac{1}{b^n}\).
a) \(7^{-3} = \frac{1}{7^3}\)
b) \(2^{-1} = \frac{1}{2}\)
c) \(y^{-10} = \frac{1}{y^{10}}\)
d) \(b^{-1} = \frac{1}{b}\)
e) \((3a)^{-4} = \frac{1}{(3a)^4}\)
Задача 3. Вычислите:
- a) \(3^{-2}\)
b) \((-5)^{-2}\)
c) \((-6)^{-1}\)
г) \(-4 \cdot (-2)^3\)
Решение:
- \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
- a) \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\)
b) \((-5)^{-2} = \frac{1}{(-5)^2} = \frac{1}{25}\)
c) \((-6)^{-1} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}\)
г) \(-4 \cdot (-2)^3\)
\(-2)^3 = -8\)
\( -4 \cdot (-8) = 32\)
- a) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\)
b) \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\)
c) \((-0,1)^{-4}\)
г) \(\left(2 \frac{1}{3}\right)^{-3}\)
Решение:
- \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n\)
- a) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3^1 = 3\)
b) \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\)
c) \((-0,1)^{-4} = \left(-10\right)^4 = 10^4 = 10000\)
d) \(2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\)
\(\left(\frac{7}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{7}\right)^3 = \frac{27}{343}\)
- а) \(8^{-1} + 6^{-2}\)
\(8^{-1} = \frac{1}{8}\)
\(6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}\)
Сумма: \(\frac{1}{8} + \frac{1}{36} = \frac{9}{72} + \frac{2}{72} = \frac{11}{72}\)
b) \(2 \cdot 4^{-1} + 5^0\)
\(4^{-1} = \frac{1}{4}\)
\(2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
\(5^0 = 1\)
Итог: \(\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2}\)
c) \(1453 - 0,1^{-3}\)
\(0,1^{-3} = (10^{-1})^{-3} = 10^{3} = 1000\)
Итог: \(1453 - 1000 = 453\)
d) \(18 - \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}\)
\(\left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25\)
Итог: \(18 - 25 = -7\)
Задача 4. Представьте в виде дроби выражение:
- a) \(7 m^{-6}\)
\(m^{-6} = \frac{1}{m^6}\)
Итого: \(7 \cdot \frac{1}{m^6} = \frac{7}{m^6}\)
b) \(2(ab)^{-1}\)
\((ab)^{-1} = \frac{1}{ab}\)
Итог: \(2 \cdot \frac{1}{ab} = \frac{2}{ab}\)
c) \(11(x + y)^{-3}\)
\((x + y)^{-3} = \frac{1}{(x + y)^3}\)
Итог: \(\frac{11}{(x + y)^3}\)
- a) \(a^2 + b^{-1}\)
\(b^{-1} = \frac{1}{b}\)
Итог: \(a^2 + \frac{1}{b}\)
b) \(x^0 + x^{-3}\)
\(x^0 = 1\)
\(x^{-3} = \frac{1}{x^3}\)
Итог: \(1 + \frac{1}{x^3}\)
c) \(a + b^{-3}\)
\(b^{-3} = \frac{1}{b^3}\)
Итог: \(a + \frac{1}{b^3}\)
d) \(xy^3 - x^{-1} y^2\)
- Пишем без изменений (только для понимания).
Задача 5. Преобразуйте в дробь выражение:
- a) \((1 + a^{-3})(a + 1)^{-2}\)
b) \((x^{-2} - y^{-2}) : (x^{-1} - y^{-1})\)
Решения:
a) \((1 + a^{-3})\) — ничего особо менять не нужно.
Можно оставить как есть или привести к общему знаменателю \(a^3\): \(\frac{a^3 + 1}{a^3}\)
\((a + 1)^{-2} = \frac{1}{(a + 1)^2}\)
Итог: \(\left(\frac{a^3 + 1}{a^3}\right) \cdot \frac{1}{(a+1)^2}\)
b) \(\frac{x^{-2} - y^{-2}}{x^{-1} - y^{-1}}\)
Приведем числитель и знаменатель к общим знаменателям:
\(x^{-2} = \frac{1}{x^2}\)
\(y^{-2} = \frac{1}{y^2}\)
\(x^{-1} = \frac{1}{x}\)
\(y^{-1} = \frac{1}{y}\)
Тогда:
\[ \frac{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{\frac{y^2 - x^2}{x^2 y^2}}{\frac{y - x}{xy}} = \frac{\frac{(y - x)(y + x)}{x^2 y^2}}{\frac{y - x}{xy}} \]
Деление дробей:
[ = \frac{(y - x)(y + x)}{x^2 y^
