Реши все

Давайте разберем все задания по порядку. Я подробно объясню каждый из них. --- **Задача 1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем.** a) \(\frac{1}{2^5}\) b) \(\frac{1}{10}\) c) \(\frac{1}{x^6}\) d) \(\frac{1}{a}\) e) \(\frac{1}{23^4}\) **Решение:** - Для дроби вида \(\frac{1}{b^n}\), можно записать как \(b^{-n}\). a) \(\frac{1}{2^5} = 2^{-5}\) b) \(\frac{1}{10} = 10^{-1}\) c) \(\frac{1}{x^6} = x^{-6}\) d) \(\frac{1}{a} = a^{-1}\) e) \(\frac{1}{23^4} = 23^{-4}\) --- **Задача 2. Замените степень с целым отрицательным показателем.** a) \(7^{-3}\) b) \(2^{-1}\) c) \(y^{-10}\) d) \(b^{-1}\) e) \((3a)^{-4}\) **Решение:** - Для отрицательной степени \(b^{-n} = \frac{1}{b^n}\). a) \(7^{-3} = \frac{1}{7^3}\) b) \(2^{-1} = \frac{1}{2}\) c) \(y^{-10} = \frac{1}{y^{10}}\) d) \(b^{-1} = \frac{1}{b}\) e) \((3a)^{-4} = \frac{1}{(3a)^4}\) --- **Задача 3. Вычислите:** 1) a) \(3^{-2}\) b) \((-5)^{-2}\) c) \((-6)^{-1}\) г) \(-4 \cdot (-2)^3\) --- **Решение:** - \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) 1) a) \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\) b) \((-5)^{-2} = \frac{1}{(-5)^2} = \frac{1}{25}\) c) \((-6)^{-1} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}\) г) \(-4 \cdot (-2)^3\) - \(-2)^3 = -8\) - \( -4 \cdot (-8) = 32\) --- 2) a) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\) b) \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\) c) \((-0,1)^{-4}\) г) \(\left(2 \frac{1}{3}\right)^{-3}\) **Решение:** - \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n\) 2) a) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3^1 = 3\) b) \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\) c) \((-0,1)^{-4} = \left(-10\right)^4 = 10^4 = 10000\) d) \(2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\) \(\left(\frac{7}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{7}\right)^3 = \frac{27}{343}\) 3) а) \(8^{-1} + 6^{-2}\) - \(8^{-1} = \frac{1}{8}\) - \(6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}\) - Сумма: \(\frac{1}{8} + \frac{1}{36} = \frac{9}{72} + \frac{2}{72} = \frac{11}{72}\) b) \(2 \cdot 4^{-1} + 5^0\) - \(4^{-1} = \frac{1}{4}\) - \(2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) - \(5^0 = 1\) - Итог: \(\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2}\) c) \(1453 - 0,1^{-3}\) - \(0,1^{-3} = (10^{-1})^{-3} = 10^{3} = 1000\) - Итог: \(1453 - 1000 = 453\) d) \(18 - \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}\) - \(\left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25\) - Итог: \(18 - 25 = -7\) --- **Задача 4. Представьте в виде дроби выражение:** 1) a) \(7 m^{-6}\) - \(m^{-6} = \frac{1}{m^6}\) - Итого: \(7 \cdot \frac{1}{m^6} = \frac{7}{m^6}\) b) \(2(ab)^{-1}\) - \((ab)^{-1} = \frac{1}{ab}\) - Итог: \(2 \cdot \frac{1}{ab} = \frac{2}{ab}\) c) \(11(x + y)^{-3}\) - \((x + y)^{-3} = \frac{1}{(x + y)^3}\) - Итог: \(\frac{11}{(x + y)^3}\) 2) a) \(a^2 + b^{-1}\) - \(b^{-1} = \frac{1}{b}\) - Итог: \(a^2 + \frac{1}{b}\) b) \(x^0 + x^{-3}\) - \(x^0 = 1\) - \(x^{-3} = \frac{1}{x^3}\) - Итог: \(1 + \frac{1}{x^3}\) c) \(a + b^{-3}\) - \(b^{-3} = \frac{1}{b^3}\) - Итог: \(a + \frac{1}{b^3}\) d) \(xy^3 - x^{-1} y^2\) - Пишем без изменений (только для понимания). --- **Задача 5. Преобразуйте в дробь выражение:** 1) a) \((1 + a^{-3})(a + 1)^{-2}\) b) \((x^{-2} - y^{-2}) : (x^{-1} - y^{-1})\) **Решения:** a) \((1 + a^{-3})\) — ничего особо менять не нужно. - Можно оставить как есть или привести к общему знаменателю \(a^3\): \(\frac{a^3 + 1}{a^3}\) - \((a + 1)^{-2} = \frac{1}{(a + 1)^2}\) - Итог: \(\left(\frac{a^3 + 1}{a^3}\right) \cdot \frac{1}{(a+1)^2}\) b) \(\frac{x^{-2} - y^{-2}}{x^{-1} - y^{-1}}\) Приведем числитель и знаменатель к общим знаменателям: - \(x^{-2} = \frac{1}{x^2}\) - \(y^{-2} = \frac{1}{y^2}\) - \(x^{-1} = \frac{1}{x}\) - \(y^{-1} = \frac{1}{y}\) Тогда: \[ \frac{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{\frac{y^2 - x^2}{x^2 y^2}}{\frac{y - x}{xy}} = \frac{\frac{(y - x)(y + x)}{x^2 y^2}}{\frac{y - x}{xy}} \] Деление дробей: \[ = \frac{(y - x)(y + x)}{x^2 y^