.

Рассмотрим данное выражение:
\[ \frac{16}{15} : \frac{2}{5} - 6\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{12} \cdot \frac{4}{5} \]

Шаг 1. Выполним деление дробей \(\frac{16}{15} : \frac{2}{5}\).
Деление дробей — это умножение на обратную дробь:
\[ \frac{16}{15} \div \frac{2}{5} = \frac{16}{15} \times \frac{5}{2} \] Перемножим числители и знаменатели:
\[ = \frac{16 \times 5}{15 \times 2} = \frac{80}{30} \] Сократим дробь: разделим числитель и знаменатель на 10:
\[ = \frac{8}{3} \]

Шаг 2. Преобразуем смешанное число \(6\frac{1}{3}\) в неправильную дробь.
\[ 6\frac{1}{3} = \frac{6 \times 3 + 1}{3} = \frac{18 + 1}{3} = \frac{19}{3} \]

Шаг 3. Преобразуем \(2 \frac{1}{12}\) в неправильную дробь.
\[ 2 \frac{1}{12} = \frac{2 \times 12 + 1}{12} = \frac{24 + 1}{12} = \frac{25}{12} \]

Шаг 4. Выполним умножение \(\frac{25}{12} \times \frac{4}{5}\).
Перемножим числители и знаменатели:
\[ = \frac{25 \times 4}{12 \times 5} = \frac{100}{60} \] Сократим на 20:
\[ = \frac{5}{3} \]

Теперь у нас есть выражение:
\[ \frac{8}{3} - \frac{19}{3} + \frac{5}{3} \]

Шаг 5. Выполним сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
\[ \frac{8}{3} - \frac{19}{3} + \frac{5}{3} = \frac{8 - 19 + 5}{3} = \frac{(8 + 5) - 19}{3} = \frac{13 - 19}{3} = \frac{-6}{3} \]

Шаг 6. Упростим полученную дробь:
\[ \frac{-6}{3} = -2 \]

Ответ:
\[ \boxed{-2} \]

Полностью решённое и ответ — минус два.