В ящике находятся 7 красных, 5 синих, 3 желтых и 4 розовых шара. Из ящика достают по одному шару, записывают его цвет и возвращают в ящик. Этот опыт повторяют 5 раз. Успехом…

Давайте подробно разберем задачу.

Дано:

• В ящике:
  • 7 красных шаров
  • 5 синих шаров
  • 3 желтых шаров
  • 4 розовых шаров
• Всего шаров:
  \( 7 + 5 + 3 + 4 = 19 \) шаров.
• Опыт повторяют 5 раз, при этом шары возвращают в ящик после каждого извлечения (поэтому вероятности не меняются).
• Успех — появление синего шара.
• Нужно найти число элементарных событий, при которых синий шар появляется ровно 3 раза за 5 повторений.

Шаг 1: Знать вероятность появления синего шара

Вероятность получить синий шар за одно извлечение:
\[ p = \frac{5}{19} \]

Аналогично вероятность НЕ появления синего:
\[ q = 1 - p = 1 - \frac{5}{19} = \frac{14}{19} \]

Шаг 2: Задача сводится к комбинаторике

Нас интересует число способов, при которых всего 3 из 5 испытаний даст синий шар, остальное — не синий.

Чтобы найти число таких событий, рассмотрим:

• Общее число способов выбрать 3 испытания, в которых появился синий шар, из 5 возможных:
  \[ C_5^3 \]
• Остальные 2 испытания — не синие, есть такие способы:
  \[ C_5^2 \]

Поскольку шары возвращаются, все испытания — независимы, и порядок важен, количество элементоварных событий (различных последовательностей из 5 испытаний с ровно тремя успехами) равно:

\[ \boxed{ C_5^3 } \]

Ответ:

Количество элементарных событий, при которых ровно 3 из 5 испытаний дают синий шар, равно:

\[ \boxed{ C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 } \]

Итак, ответ: 10.