Давайте подробно разберем задачу.
Обозначим:
- скорость мотоциклиста при первом движении (из А в В): ( v ) км/ч (нам нужно найти это значение).
- расстояние между пунктами А и В: ( S ) км.
Шаг 1: Запишем информацию о пути из А в В
Время пути из А в В:
[
t_{АВ} = \frac{S}{v}
]
Шаг 2: Обратный путь
Мотоциклист возвращается со скоростью, которая на 6 км/ч меньше:
[
v_{обрат} = v - 6
]
Обратный путь делится на две части:
- Первую половину обратного пути он проезжает со скоростью ( v - 6 ).
- Вторую половину — со скоростью 56 км/ч.
Обозначим длину половины пути: (\frac{S}{2}).
Шаг 3: Время на первую половину обратного пути
[
t_1 = \frac{\frac{S}{2}}{v - 6}
]
Шаг 4: Время на вторую половину обратного пути
[
t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{56}
]
Общее время обратного пути:
[
t_{обрат} = t_1 + t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{v - 6} + \frac{\frac{S}{2}}{56}
]
Шаг 5: Условие о равенстве времен
По условию, время обратной поездки равно времени из А в В:
[
t_{АВ} = t_{обрат}
]
Подставим:
[
\frac{S}{v} = \frac{\frac{S}{2}}{v - 6} + \frac{\frac{S}{2}}{56}
]
Шаг 6: Упростим уравнение
Разделим обе части на ( S ):
[
\frac{1}{v} = \frac{\frac{1}{2}}{v - 6} + \frac{\frac{1}{2}}{56}
]
Обозначим:
[
\frac{1}{v} = \frac{1}{2(v - 6)} + \frac{1}{2 \times 56}
]
Упростим:
[
\frac{1}{v} = \frac{1}{2(v - 6)} + \frac{1}{112}
]
Шаг 7: Решим уравнение
Перенесем все в левую часть:
[
\frac{1}{v} - \frac{1}{2(v - 6)} = \frac{1}{112}
]
Обозначим левую часть как выражение:
[
\text{Левая часть} = \frac{1}{v} - \frac{1}{2(v - 6)}
]
Общий знаменатель для левой части: ( 2v(v - 6) ):
[
\frac{2(v - 6) - v}{2v(v - 6)} = \frac{1}{112}
]
Раскроем числитель:
[
2v - 12 - v = v - 12
]
Следовательно:
[
\frac{v - 12}{2v(v - 6)} = \frac{1}{112}
]
Перейдём к уравнению:
[
v - 12 = \frac{2v(v - 6)}{112}
]
Упростим правую часть:
[
v - 12 = \frac{2v^2 - 12v}{112}
]
Перемножим обе части на 112, чтобы избавиться от дроби:
[
112(v - 12) = 2v^2 - 12v
]
Раскроем левую часть:
[
112v - 112 \times 12 = 2v^2 - 12v
]
[
112v - 1344 = 2v^2 - 12v
]
Перенесем все в одну сторону:
[
2v^2 - 12v - 112v + 1344 = 0
]
Объединим подобные члены:
[
2v^2 - 124v + 1344 = 0
]
Разделим все уравнение на 2:
[
v^2 - 62v + 672 = 0
]
Шаг 8: Решим квадратное уравнение
Дискриминант:
[
D = 62^2 - 4 \times 1 \times 672 = 3844 - 2688 = 1156
]
Корень из D:
[
\sqrt{1156} = 34
]
Найдем корни:
[
v = \frac{62 \pm 34}{2}
]
Значения:
- [
v = \frac{62 + 34}{2} = \frac{96}{2} = 48
]
- [
v = \frac{62 - 34}{2} = \frac{28}{2} = 14
]
Шаг 9: Проверка условий
Условие: скорость больше 40 км/ч. Значит, нас интересует:
[
v = 48 \text{ км/ч}
]
Поскольку ( v = 14 ) км/ч — не подходит.
Ответ:
скорость мотоциклиста из А в В — 48 км/ч.
