Мотоциклист выехал из пункта А в пункт В. Проехав весь путь с постоянной скоростью, он отправился обратно со скоростью меньше прежней на 6 км/ч. Проехав половину обратного пути,…
Мотоциклист выехал из пункта А в пункт В. Проехав весь путь с постоянной скоростью, он отправился обратно со скоростью меньше прежней на 6 км/ч. Проехав половину обратного пути, он увеличил скорость до 56 км/ч, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость мотоциклиста на пути из А в В, если известно, что она больше 40 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.
Давайте подробно разберем задачу.
Обозначим:
- скорость мотоциклиста при первом движении (из А в В): \( v \) км/ч (нам нужно найти это значение).
- расстояние между пунктами А и В: \( S \) км.
Шаг 1: Запишем информацию о пути из А в В
Время пути из А в В:
\[
t_{АВ} = \frac{S}{v}
\]
Шаг 2: Обратный путь
Мотоциклист возвращается со скоростью, которая на 6 км/ч меньше:
\[
v_{обрат} = v - 6
\]
Обратный путь делится на две части:
- Первую половину обратного пути он проезжает со скоростью \( v - 6 \).
- Вторую половину — со скоростью 56 км/ч.
Обозначим длину половины пути: \(\frac{S}{2}\).
Шаг 3: Время на первую половину обратного пути
\[ t_1 = \frac{\frac{S}{2}}{v - 6} \]
Шаг 4: Время на вторую половину обратного пути
\[ t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{56} \]
Общее время обратного пути:
\[
t_{обрат} = t_1 + t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{v - 6} + \frac{\frac{S}{2}}{56}
\]
Шаг 5: Условие о равенстве времен
По условию, время обратной поездки равно времени из А в В:
\[ t_{АВ} = t_{обрат} \]
Подставим:
\[ \frac{S}{v} = \frac{\frac{S}{2}}{v - 6} + \frac{\frac{S}{2}}{56} \]
Шаг 6: Упростим уравнение
Разделим обе части на \( S \):
\[ \frac{1}{v} = \frac{\frac{1}{2}}{v - 6} + \frac{\frac{1}{2}}{56} \]
Обозначим:
\[ \frac{1}{v} = \frac{1}{2(v - 6)} + \frac{1}{2 \times 56} \]
Упростим:
\[ \frac{1}{v} = \frac{1}{2(v - 6)} + \frac{1}{112} \]
Шаг 7: Решим уравнение
Перенесем все в левую часть:
\[ \frac{1}{v} - \frac{1}{2(v - 6)} = \frac{1}{112} \]
Обозначим левую часть как выражение:
\[ \text{Левая часть} = \frac{1}{v} - \frac{1}{2(v - 6)} \]
Общий знаменатель для левой части: \( 2v(v - 6) \):
\[ \frac{2(v - 6) - v}{2v(v - 6)} = \frac{1}{112} \]
Раскроем числитель:
\[ 2v - 12 - v = v - 12 \]
Следовательно:
\[ \frac{v - 12}{2v(v - 6)} = \frac{1}{112} \]
Перейдём к уравнению:
\[ v - 12 = \frac{2v(v - 6)}{112} \]
Упростим правую часть:
\[ v - 12 = \frac{2v^2 - 12v}{112} \]
Перемножим обе части на 112, чтобы избавиться от дроби:
\[ 112(v - 12) = 2v^2 - 12v \]
Раскроем левую часть:
\[ 112v - 112 \times 12 = 2v^2 - 12v \]
\[ 112v - 1344 = 2v^2 - 12v \]
Перенесем все в одну сторону:
\[ 2v^2 - 12v - 112v + 1344 = 0 \]
Объединим подобные члены:
\[ 2v^2 - 124v + 1344 = 0 \]
Разделим все уравнение на 2:
\[ v^2 - 62v + 672 = 0 \]
Шаг 8: Решим квадратное уравнение
Дискриминант:
\[ D = 62^2 - 4 \times 1 \times 672 = 3844 - 2688 = 1156 \]
Корень из D:
\[ \sqrt{1156} = 34 \]
Найдем корни:
\[ v = \frac{62 \pm 34}{2} \]
Значения:
- \[ v = \frac{62 + 34}{2} = \frac{96}{2} = 48 \]
- \[ v = \frac{62 - 34}{2} = \frac{28}{2} = 14 \]
Шаг 9: Проверка условий
Условие: скорость больше 40 км/ч. Значит, нас интересует:
\[ v = 48 \text{ км/ч} \]
Поскольку \( v = 14 \) км/ч — не подходит.
Ответ:
скорость мотоциклиста из А в В — 48 км/ч.
