Отметьте точку А на квадрате со стороной 1 см. одолжил. Найти вероятность того, что расстояние от точки А до указанной вершины квадрата не более 1/4

Давайте разберем задачу по шагам. Задача, насколько я понимаю, — это классическая задача на вероятность, связанная с расположением точки внутри квадрата и вычислением вероятности, что расстояние до определенной вершины не превышает заданной меры. ### Условие задачи - Есть квадрат со стороной 1 см. - Точку А выбирают случайным образом внутри этого квадрата. - Нужно найти вероятность того, что расстояние от точки А до одной из вершин квадрата не больше 1/4 см. --- ### Подход к решению 1. **Обозначим квадрат и вершины:** Пусть квадрат — это координатная плоскость с вершинами: \[ (0,0),\, (1,0),\, (1,1),\, (0,1) \] и точка А — внутри квадрата с координатами \((x, y)\), где \(x, y \in [0,1]\). 2. **Выбор конкретной вершины:** Для удобства возьмем вершину \((0,0)\). Позже можно рассмотреть аналогичные случаи для других вершин, но вероятность будет одинаковой благодаря симметрии. 3. **Условие расстояния:** Расстояние от точки \((x, y)\) до вершины \((0, 0)\) по формуле Евклидова расстояния: \[ d = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} \] Необходимо, чтобы \[ d \leq \frac{1}{4} \] То есть \[ \sqrt{x^2 + y^2} \leq \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 \leq \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \] 4. **Геометрическая интерпретация:** Все точки внутри квадрата, удовлетворяющие \(x^2 + y^2 \leq 1/16\), образуют сектор (круг с радиусом 1/4), ограниченный сверху линиями \(x=0\) и \(y=0\). Однако, поскольку мы говорим о всей области квадрата \([0,1]\times [0,1]\), и условие — расстояние не превышает 1/4, то рассматриваем часть квадрата, содержащую данный сектор. 5. **Рассмотрение области:** Поскольку точка \((x, y)\) — внутри квадрата \([0,1]\times[0,1]\), и радиус равен 1/4, а радиус круга — 1/4, то круг с центром в вершине \((0,0)\) и радиусом 1/4 полностью внутри квадрата (так как радиус меньше половины стороны). Поэтому вероятность равна отношению площади части квадрата, которая находится внутри этого круга (круга с центром в вершине и радиусом 1/4). 6. **Площадь искомой области:** Область — это четверть круга радиуса 1/4, ограниченная осями \(x=0\) и \(y=0\), то есть, сектор круга в левом нижнем углу квадрата. — площадь этого сектора равна четверти площади полного круга: \[ \text{Площадь сектора} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{4} \pi \frac{1}{16} = \frac{\pi}{64} \] 7. **Общая вероятность:** Поскольку точка выбирается случайным образом внутри квадрата, который имеет площадь 1 кв. см, вероятность равна отношению площади искомой области к площади квадрата: \[ \boxed{ P = \frac{\pi/64}{1} = \frac{\pi}{64} } \] --- ### Итальян: **Ответ:** вероятность того, что расстояние от случайно выбранной точки внутри квадрата со стороной 1 см до вершины \((0,0)\) не превышает 1/4, равна \(\frac{\pi}{64}\). Если необходимо, я могу дать аналогичный ответ для любой другой вершины (из-за симметрии вероятность одинаковая). Если есть вопросы или нужен более детальный разбор — скажите!