реши уравнение

Давайте разберемся с этим уравнением пошагово и подробно объясним, почему ответ получился неправильным и как его правильно решить.

Задача: \[ \frac{3}{(x - 1)^2} - \frac{19}{x - 1} + 20 = 0 \]

Шаг 1: Замена переменной

Обратите внимание, что в уравнении мы видим выражения \((x - 1)\ и \((x - 1)^2\). Лучше всего ввести новую переменную:

\[ t = x - 1 \]

Тогда уравнение принимает вид:

\[ \frac{3}{t^2} - \frac{19}{t} + 20 = 0 \]

Шаг 2: Возмолдерать уравнение

Для удобства избавимся от дробей, умножив все уравнение на \(t^2\):

\[ 3 - 19t + 20t^2 = 0 \]

Обратите внимание, что умножение на \(t^2\) допустимо, если \(t \neq 0\), так как при \(t=0\) исходное выражение \(\frac{3}{t^2}\) не определено. Поэтому, исключая \(t=0\), решим полученное квадратичное уравнение:

\[ 20t^2 - 19t + 3 = 0 \]

Шаг 3: Решение квадратичного уравнения

Коэффициенты:

• \(a = 20\)
• \(b = -19\)
• \(c = 3\)

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 3 = 361 - 240 = 121 \]

Так как \(D > 0\), решений два. Вычисляем корни:

\[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 20} = \frac{19 \pm 11}{40} \]

Рассчитаем оба корня:

1. \(t_1 = \frac{19 + 11}{40} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} = 0.75\)
2. \(t_2 = \frac{19 - 11}{40} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} = 0.2\)

Шаг 4: Возврат к исходной переменной

Помните, что \(t = x - 1\), значит:

\[ x = t + 1 \]

Следовательно, корни:

1. \(x_1 = 0.75 + 1 = 1.75\)
2. \(x_2 = 0.2 + 1 = 1.2\)

Шаг 5: Проверка на исключения

Проверим, не равен ли \(x\) значению, при котором исходное уравнение не определено: \(\frac{3}{(x-1)^2}\). Это происходит при \(x=1\).

Наши корни \(x_1=1.75\) и \(x_2=1.2\), оба не равны 1, значит, оба допустимы.

Итог:

Решения уравнения:

\[ \boxed{ x = 1.75 \quad \text{и} \quad x = 1.2 } \]

Ответ: 1.2 и 1.75 — это правильные корни исходного уравнения.