В группе 18 человек из них 7 мальчиков , остальные девочки. По сигналу учителя физкультуры они быстро построились в одну шеренгу в случайном порядке. Найдите вероятность того ,…

Давайте разберемся с задачей пошагово и подробно.

Задача: В группе из 18 человек, из них 7 мальчиков, остальные — девочки. Нужно найти вероятность того, что на концах шеренги окажутся либо две девочки, либо два мальчика.

Шаг 1. Общее количество возможных перестановок

Общая ситуация — 18 человек, располагающихся в случайном порядке. Количество всех возможных перестановок — это 18! (факториал 18).

Шаг 2. Определим, какие ситуации нас интересуют

Нас интересует два варианта:

1. На концах шеренги оба мальчика.
2. На концах шеренги обе девочки.

Обозначим:

• Мальчиков — M, их количество — 7.
• Девочек — D, их количество — 11 (так как 18 - 7 = 11).

Обозначим:

• вероятность события A — оба конца — мальчики.
• вероятность события B — оба конца — девочки.

Нужно найти сумму вероятностей: \( P(A \cup B) \). Поскольку эти события не пересекаются (они исключают друг друга, ведь не могут одновременно быть и мальчики, и девочки на концах), то вероятность суммы — это сумма вероятностей:

\[ P = P(A) + P(B) \]

Шаг 3. Вычислим \( P(A) \) — вероятность того, что оба конца — мальчики

• Общее количество способов выбрать человека для первого края: 18.
• Количество способов выбрать мальчика для первого края: 7.
• Тогда для второго края: осталось 6 мальчиков из 17 оставшихся человек.

Общее количество способов выбрать людей на оба края, при условии, что они — мальчики: \( 7 \times 6 \).

Значит, число способов выбрать крайних мальчиков: просто выбрать 2 мальчиков на оба конца в любой последовательности (учитывая порядок на концах): 7*6 = 42, так как порядок важен (первый — левый конец, второй — правый).

После этого оставшиеся 16 человек (исходные 18 минус 2 выбранных) можно расположить в любой последовательности: 16!.

Общее число расположений всей шеренги — 18!.

Следовательно, вероятность события A:

\[ P(A) = \frac{\text{число благоприятных вариантов}}{\text{общее число вариантов}} = \frac{(7 \times 6) \times 16!}{18!} \]

Упростим:

\[ 18! = 18 \times 17 \times 16! \]

Тогда:

\[ P(A) = \frac{7 \times 6 \times 16!}{18 \times 17 \times 16!} = \frac{42}{306} = \frac{7}{51} \]

Аналогично для события B — оба конца — девочки:

• Общее число способов выбрать девочек для концов: \( 11 \times 10 = 110 \).
• Процентное соотношение:

\[ P(B) = \frac{11 \times 10 \times 16!}{18 \times 17 \times 16!} = \frac{110}{306} = \frac{55}{153} \]

Шаг 4. Итоговая вероятность

Поскольку события не пересекаются, сумма:

\[ P = P(A) + P(B) = \frac{7}{51} + \frac{55}{153} \]

Приведем к общему знаменателю 153:

• \( \frac{7}{51} = \frac{7 \times 3}{51 \times 3} = \frac{21}{153} \),
• \( \frac{55}{153} \) осталось без изменений.

Итак,

\[ P = \frac{21}{153} + \frac{55}{153} = \frac{76}{153} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{76}{153}} \]

Это и есть вероятность того, что на концах шеренги окажутся две девочки или два мальчика.