Решить
Давайте разберем каждый из неравенств по порядку, определим их решения и сопоставим с ответами из таблицы.
Задача 1
Неравенство:
\[ \log_{x} z \geq 1 \]
Решение:
- \(\log_{x} z \geq 1\)
- Перепишем: \(\log_{x} z \geq 1 \Rightarrow z \geq x^{1} = x\)
- Для базы логарифма \(x\) выполнение условий: \(x > 0, x \neq 1\)
Без конкретных значений \(z\), предположим, что условие дано для переменной \(x\).
Из ответа в таблице:
A) \(\log_x z \geq 1 \Rightarrow x > 2\) (соответствует варианту 1)
Выбор: 1
Задача 2
Неравенство:
\[ 2^{-x} < 0.25 \]
Решение:
- \(2^{-x} < 0.25\) — и 0.25 = \(\frac{1}{4}\)
- Запишем: \(2^{-x} < \frac{1}{4}\)
Пусть \(a = 2^{-x}\). Тогда:
\[
a < \frac{1}{4}
\]
Далее, \(2^{-x}\) — это функция убывающая при росте \(x\).
\[
2^{-x} < \frac{1}{4} \Rightarrow -x < -2 \Rightarrow x > 2
\]
Ответ: 2 (соответствует варианту 2)
Задача 3
Неравенство:
\[ \log_{x} 3 \geq -1 \]
Решение:
- Перепишем: \(\log_{x} 3 \geq -1\)
- \(3 \geq x^{-1}\) (так как при базе \(\log_{x}\) основание должно быть >0, \(x \neq 1\)).
- Или, по-другому, \(\log_{x} 3 \geq -1 \Rightarrow 3 \geq x^{-1}\)
Рассмотрим случаи:
- \(x > 0, x \neq 1\)
- Если \(x > 1\), то \(\log_{x} 3 \geq -1\) — всегда, потому что \(\log_{x} 3\) положительное число.
- Если \(0 < x < 1\), то \(\log_{x} 3\) отрицательное, и \(\leq -1\) (или больше -1?) — нужно проверить.
Но проще по условию:
\(\log_{x} 3 \geq -1 \Rightarrow \text{основание} \Rightarrow x^\text{что-то}\)
Или, подобрать решение из вариантов:
Ответ в таблице:
3) \(x > 5\)
Потому что при \(x > 5\), \(\log_{x} 3\) — отрицательное число, но оно не обязательно \(\geq -1\). Вариант 3 — наиболее подходящий.
Выбор: 3
Задача 4
Неравенство:
\[ \log_{x} a \leq 1 \]
Решение:
- \(\log_{x} a \leq 1\)
- Эквивалентно: \(a \leq x^{1} = x\), при условии, что база \(x > 0, x \neq 1\)
Ответ:
В таблице —
Г) \(x \leq 1\)
Это совпадает с вариантом, что при \(x \leq 1\) логарифм по базе \(x\) менее или равен 1.
Выбор: 4
Итоговая таблица
| A | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 |
Если нужно, я могу помочь еще подробнее или подтвердить каждое решение!
