Задумали трёхзначное число, которое делится на 28. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 45. Какое число было задумано? КРАТКОЕ РЕШЕНИЕ

Дано: задуманное число делится на 28. После обмена местами цифр десятков и единиц и вычитания результата из исходного числа получается 45. Обозначим число: пусть сотни — \(a\), десятки — \(b\), единицы — \(c\). Тогда исходное число: \[ N = 100a + 10b + c \] После обмена десятков и единиц: \[ M = 100a + 10c + b \] По условию: \[ N - M = 45 \] Подставим выражения: \[ (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 45 \] \[ 100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 45 \] \[ 10b + c - 10c - b = 45 \] \[ (10b - b) + (c - 10c) = 45 \] \[ 9b - 9c = 45 \] \[ 9(b - c) = 45 \] \[ b - c = 5 \] Итак, разность между десятками и единицами равна 5: \[ b = c + 5 \] Также, исходное число делится на 28. Параметры: - \(a\) — цифра сотен (от 1 до 9) - \(b\) и \(c\) — цифры (от 0 до 9), и \(b = c + 5\) Проверим возможные значения \(c\): \[ c \leq 4 \] (так как \(b = c + 5\) не должен превышать 9) Варианты: - \(c = 0 \Rightarrow b = 5\) - \(c = 1 \Rightarrow b = 6\) - \(c = 2 \Rightarrow b = 7\) - \(c = 3 \Rightarrow b = 8\) - \(c = 4 \Rightarrow b = 9\) now проверим делимость исходного числа \(N\): 1. Для \(c=0, b=5\), число: \[ N= 100a + 10 \times 5 + 0 = 100a + 50 \] Делится на 28. \[ 100a + 50 \equiv 0 \pmod{28} \] Обратим: - \(100a \equiv (100 \bmod 28) \times a = (100 - 3 \times 28) \times a = (100 - 84) \times a = 16a \pmod{28}\) - \(50 \equiv 50 - 28 \times 1= 22 \pmod{28}\) Значит: \[ 16a + 22 \equiv 0 \pmod{28} \] Решим уравнение: \[ 16a \equiv -22 \equiv 6 \pmod{28} \] (так как \(-22 + 28 = 6\)) Теперь ищем \(a\), чтобы было: \[ 16a \equiv 6 \pmod{28} \] Найдем обратный к 16 по модулю 28: - \(\gcd(16,28)=4\). Поскольку есть делитель 4, условие для решения уравнения — 6 должно делиться на 4, а 6 не делится на 4. Значит, решений нет. То же проверим для других вариантов: 2. Для \(c=1, b=6\): \[ N= 100a + 60 + 1 = 100a + 61 \] Модульно: \[ 100a + 61 \equiv 16a + 5 \pmod{28} \quad (\text{так как } 100a \equiv 16a, 61 \equiv 5) \] Общее: \[ 16a + 5 \equiv 0 \pmod{28} \Rightarrow 16a \equiv -5 \equiv 23 \pmod{28} \] Так как \( \gcd(16,28)=4 \), а 23 не делится на 4, решений нет. 3. Для \(c=2, b=7\): \[ N= 100a + 70 + 2 = 100a + 72 \] Модульно: \[ 16a + (72 \bmod 28) \] \[72 \div 28 = 2 \times 28=56, 72-56=16\] Тогда: \[ 16a + 16 \equiv 0 \pmod{28} \] \[ 16a \equiv -16 \equiv 12 \pmod{28} \] \(\gcd(16,28)=4\), и 12 делится на 4. Делим обе части уравнения на 4: \[ 4a \equiv 3 \pmod{7} \] - \(4a \equiv 3 \pmod{7}\) Обратный к 4 по модулю 7 — это 2, потому что: \[ 4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7} \] Тогда: \[ a \equiv 3 \times 2 = 6 \pmod{7} \] \[ a=6 \] (так как \(a\) — цифра от 1 до 9). Проверяем: \[ N= 100 \times 6 + 70 + 2 = 600 + 70 + 2= 672 \] Проверим делимость на 28: \(28 \times 24=672\), — точно делится. Также, для подтверждения, поменяем цифры: исходное число: 672 обмен десятков и единиц: 672 → 672 поменять местами 7 (сотни), 2 (единицы): Но цифры десятков и единиц: \(b=7\), \(c=2\) Обмен: число: \(100a + 10c + b = 100*6 + 10*2 + 7= 600 +20 +7=627\) Разница: \[ 672 - 627 = 45 \] Совпадает! Итак, задуманное число — **672**.