Задумали трёхзначное число, которое делится на 28. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 45. Какое…

Дано: задуманное число делится на 28. После обмена местами цифр десятков и единиц и вычитания результата из исходного числа получается 45.

Обозначим число:
пусть сотни — \(a\), десятки — \(b\), единицы — \(c\). Тогда исходное число:
\[ N = 100a + 10b + c \]

После обмена десятков и единиц:
\[ M = 100a + 10c + b \]

По условию:
\[ N - M = 45 \]

Подставим выражения:
\[ (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 45 \]
\[ 100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 45 \]
\[ 10b + c - 10c - b = 45 \]
\[ (10b - b) + (c - 10c) = 45 \]
\[ 9b - 9c = 45 \]
\[ 9(b - c) = 45 \]
\[ b - c = 5 \]

Итак, разность между десятками и единицами равна 5:
\[ b = c + 5 \]

Также, исходное число делится на 28.

Параметры:

• \(a\) — цифра сотен (от 1 до 9)
• \(b\) и \(c\) — цифры (от 0 до 9), и \(b = c + 5\)

Проверим возможные значения \(c\):
\[ c \leq 4 \] (так как \(b = c + 5\) не должен превышать 9)

Варианты:

• \(c = 0 \Rightarrow b = 5\)
• \(c = 1 \Rightarrow b = 6\)
• \(c = 2 \Rightarrow b = 7\)
• \(c = 3 \Rightarrow b = 8\)
• \(c = 4 \Rightarrow b = 9\)

now проверим делимость исходного числа \(N\):

1. Для \(c=0, b=5\), число:
   \[ N= 100a + 10 \times 5 + 0 = 100a + 50 \]
   Делится на 28.

\[ 100a + 50 \equiv 0 \pmod{28} \]

Обратим:

• \(100a \equiv (100 \bmod 28) \times a = (100 - 3 \times 28) \times a = (100 - 84) \times a = 16a \pmod{28}\)
• \(50 \equiv 50 - 28 \times 1= 22 \pmod{28}\)

Значит:
\[ 16a + 22 \equiv 0 \pmod{28} \]

Решим уравнение:
\[ 16a \equiv -22 \equiv 6 \pmod{28} \] (так как \(-22 + 28 = 6\))

Теперь ищем \(a\), чтобы было:
\[ 16a \equiv 6 \pmod{28} \]

Найдем обратный к 16 по модулю 28:

• \(\gcd(16,28)=4\). Поскольку есть делитель 4, условие для решения уравнения — 6 должно делиться на 4, а 6 не делится на 4. Значит, решений нет.

То же проверим для других вариантов:

2. Для \(c=1, b=6\): \[ N= 100a + 60 + 1 = 100a + 61 \]
   Модульно:
   \[ 100a + 61 \equiv 16a + 5 \pmod{28} \quad (\text{так как } 100a \equiv 16a, 61 \equiv 5) \]

Общее:
\[ 16a + 5 \equiv 0 \pmod{28} \Rightarrow 16a \equiv -5 \equiv 23 \pmod{28} \]

Так как \( \gcd(16,28)=4 \), а 23 не делится на 4, решений нет.

3. Для \(c=2, b=7\):
   \[ N= 100a + 70 + 2 = 100a + 72 \]
   Модульно:
   \[ 16a + (72 \bmod 28) \]

\[72 \div 28 = 2 \times 28=56, 72-56=16\]

Тогда:
\[ 16a + 16 \equiv 0 \pmod{28} \] \[ 16a \equiv -16 \equiv 12 \pmod{28} \]

\(\gcd(16,28)=4\), и 12 делится на 4.

Делим обе части уравнения на 4:

\[ 4a \equiv 3 \pmod{7} \]

• \(4a \equiv 3 \pmod{7}\)

Обратный к 4 по модулю 7 — это 2, потому что:

\[ 4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7} \]

Тогда:
\[ a \equiv 3 \times 2 = 6 \pmod{7} \]

\[ a=6 \] (так как \(a\) — цифра от 1 до 9).

Проверяем:
\[ N= 100 \times 6 + 70 + 2 = 600 + 70 + 2= 672 \]

Проверим делимость на 28:

\(28 \times 24=672\), — точно делится.

Также, для подтверждения, поменяем цифры:
исходное число: 672
обмен десятков и единиц: 672 → 672 поменять местами 7 (сотни), 2 (единицы):
Но цифры десятков и единиц: \(b=7\), \(c=2\)
Обмен: число: \(100a + 10c + b = 100*6 + 10*2 + 7= 600 +20 +7=627\)

Разница:
\[ 672 - 627 = 45 \]

Совпадает!

Итак, задуманное число — 672.