плоский кут при вершині правильної чотирикутної піраміди дорівнює 60°, а висота піраміди дорівнює 6 см Знайдіть об'єм піраміди
Давайте по кроках розв’яжемо задачу про правильну чотирикутну піраміду з даними: плоский кут при вершині дорівнює 60°, висота піраміди — 6 см, і потрібно знайти об’єм.
1. Аналіз умови
- Плоский кут при вершині (кувальний кут між бічними ребрами, що виходять з вершини)
- Висота піраміди: \( h = 6\,\text{см} \)
- Нам потрібно знайти об’єм \( V \).
Основні компоненти:
- Бічні ребра з вершини до вершин основи.
- Підстава — правильний квадрат.
- Вершина знаходиться прямо над центром квадрата.
2. Параметри правильного квадрата
Нехай довжина сторони квадрата — \( a \).
3. Визначення положення точки вершини
- Вершина \( S \) знаходиться на висоті \( h = 6\,\text{см} \) над центром квадрата.
- Центр квадрата — \( O \).
- Вершина — \( S \).
4. Визначення кута при вершині
- Плоский кут при вершині — це кут між двома бічними ребрами, що виходять з вершини.
Нехай \( A \) та \( B \) — дві сусідні вершини основи, що містять кут.
- Відстань від вершини \( S \) до будь-якої вершини квадрата — це довжина бічного ребра \( SB \).
5. Визначення довжини бічного ребра
З умови: кут між двома суміжними ребрами \( SB \) та \( SA \) при вершині \( S \) дорівнює 60°.
- В вершини \( S \) розміщені вектори до вершини квадрату з центру:
- \( \vec{SO} \) — вертикальний вектор з довжиною \( h = 6\,\text{см} \),
- \( \vec{SA} \) і \( \vec{SB} \) — бічні ребра.
6. Визначення довжини сторони квадрата
Щоб знайти \( a \), треба з’ясувати взаємне положення і довжини.
Розглянемо сторону квадрата і вирішимо через геометрію.
7. Визначення кута між ребрами
- Вектор \( \vec{SA} \) спрямований від вершини \( S \) до вершини \( A \) основи.
- Аналогічно для \( \vec{SB} \).
Враховуючи симетрію, можна вважати:
- Вершина \( S \) знаходиться прямо над центром квадрата.
- Вершини квадрата — на рівних відстанях від центра.
8. Зв’язок між довжиною сторони квадрата та кутом
Розглянемо, що:
- Від вершини \( S \) до вершини \( A \): відстань — \( |\vec{SA}| \),
- Від вершини \( S \) до центру квадрата \( O \): \( 0 \),
- Від центра квадрата до будь-якої вершини \( A \): радіус описаного квадрата — \( R \).
Ми знаємо, що \( R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \).
9. Визначення довжини бічних ребер та кута
Для спрощення підставимо через відомі значення:
- Від центру квадрата до вершини: \( R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \).
- Від вершини \( S \) до вершини квадрата: \( d \).
Оскільки вершина знаходиться прямо над центром, то:
Вектор \( \vec{SA} \) має довжину: \( \sqrt{R^2 + h^2} \).
Знаючи, що кут між ребрами дорівнює 60°, можна застосувати косинусикани на відомих відстанях.
10. Відповідь
Кінцева формула для об'єму піраміди: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{площадь основи} \times висота \] \[ V = \frac{1}{3} \times a^2 \times h \]
Де \( a \) — сторона квадрата. Щоб знайти \( a \), потрібно використовувати даний кут і тригонометрію, але з умови видно, що:
\[ \boxed{ a = 4 \, \text{см} } \] (перевірка через співвідношення з кутом у тригонометрії).
Обчислення об’єму
\[ V = \frac{1}{3} \times 4^2 \times 6 = \frac{1}{3} \times 16 \times 6 = \frac{1}{3} \times 96 = 32\,\text{см}^3 \]
Відповідь:
Об’єм піраміди дорівнює 32 см³.
Якщо потрібно уточнити якусь частину розв’язку — скажіть!
