Реши

Давайте подробно решим обе задачи.

Задача 1.

В параллелограмме \(ABCD\) угол \(A\) равен \(43^\circ\). Найдите угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\), между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\), между векторами \(\vec{CD}\) и \(\vec{AD}\).

Шаг 1. Свойства параллелограмма:

• Противоположные углы равны: \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\).
• Сумма углов в параллелограмме равна \(360^\circ\).
• Сумма соседних углов равна \(180^\circ\), то есть \(\angle A + \angle B = 180^\circ\)

Так как \(\angle A = 43^\circ\), то: \[ \angle B = 180^\circ - 43^\circ = 137^\circ \]

Так как \(\angle A = 43^\circ\), то и \(\angle C = 43^\circ\), а \(\angle D = 137^\circ\).

Шаг 2. Определение углов между векторами:

• Вектор \(\vec{AB}\): направлен от точки \(A\) к \(B\).
• Вектор \(\vec{BC}\): от \(B\) к \(C\).

Легко увидеть, что вектор \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) образуют угол в \(\angle B = 137^\circ\), так как эти две стороны расходятся под углом, равным углу при вершине \(B\).

Ответ на первый вопрос: \[ \boxed{137^\circ} \] или из предложенных вариантов — 2) 360^\circ — не подходит, так как правильный — 137°, но такового варианта в списке нет. Вариант nearest — 3) 246°, однако, исходя из геометрических свойств, правильно — 137°.

• Вектор \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\):

Эти векторы параллельны (противоположные стороны параллелограмма), вектор \(\vec{AB}\) равен \(\vec{DC}\) по длине и противоположен по направлению.

Угол между параллельными векторами равен \(0^\circ\) (одинаковое направление).

Ответ: \[ 0^\circ \] или 2) 0.

• Вектор \(\vec{CD}\) и \(\vec{AD}\):

\(\vec{AD}\) — это одна из сторон, а \(\vec{CD}\) — соседняя сторона, образующая угол при вершине \(D\), равный \(\angle D = 137^\circ\).

Поскольку \(\vec{CD}\) идет от \(C\) к \(D\), а \(\vec{AD}\) — от \(A\) к \(D\), то между ними угол равен \(\angle D = 137^\circ\) векторной разметке.

Итог:

• \(\angle (\vec{AB}, \vec{BC}) \approx 137^\circ\).
• \(\angle (\vec{AB}, \vec{CD}) = 0^\circ\).
• \(\angle (\vec{CD}, \vec{AD}) \approx 137^\circ\).

Задача 2.

Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a} = \{-1; 3\}\) и \(\vec{b} = \{-7; 5\}\).

Формула скалярного произведения:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 \]

Подставим значения: \[ (-1) \times (-7) + 3 \times 5 = 7 + 15 = 22 \]

Ответ: \[ \boxed{22} \]

Если нужен более глубокий разбор — обращайтесь!