помоги решить
Давайте пошагово решим задачу №14.
Задача:
Камень бросают в глубокое ущелье.
- В первую секунду он пролетает 7 метров.
- В каждую следующую секунду он пролетает на 10 метров больше, чем в предыдущую.
Вопрос: за сколько секунд камень достигнет дна ущелья глубиной 336 метров?
Шаг 1: Определение последовательности
Дистанции, пройденные за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию:
- Первый член \( a_1 = 7 \) метров
- Разность прогрессии \( d = 10 \) метров
Далее:
\[ a_2 = a_1 + d = 7 + 10 = 17 \, \text{метров} \] \[ a_3 = a_2 + d = 17 + 10 = 27 \, \text{метров} \] и так далее, где сумма расстояний за \( n \) секунд — это сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии.
Шаг 2: Формула суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии
\[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \]
или
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n - 1)d) \]
Подставляем:
\[ a_1 = 7, \quad d = 10 \]
Итак,
\[ S_n = \frac{n}{2} \left(2 \times 7 + (n - 1) \times 10\right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \left(14 + 10(n - 1)\right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \left(14 + 10n - 10 \right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} (4 + 10n) \]
Раскроем скобки:
\[ S_n = \frac{n}{2} \times (10n + 4) \] \[ S_n = \frac{n (10n + 4)}{2} \]
Шаг 3: Решение задачи
Нам нужно найти минимальное \( n \), при котором сумма расстояний \( S_n \geq 336 \).
Формула:
\[ \frac{n (10n + 4)}{2} \geq 336 \]
Умножим обе части на 2:
\[ n (10n + 4) \geq 672 \]
Раскроем скобки:
\[ 10n^2 + 4n \geq 672 \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ 10n^2 + 4n - 672 \geq 0 \]
Это квадратичная неравенство. Рассмотрим ее как уравнение:
\[ 10n^2 + 4n - 672 = 0 \]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Общий вид:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
Где:
\[ a = 10, \quad b = 4, \quad c = -672 \]
Дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 10 \times (-672) = 16 + 26900 = 26916 \]
Корни уравнения:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
\[ n = \frac{-4 \pm \sqrt{26916}}{20} \]
Рассчитаем \(\sqrt{26916}\):
\[ \sqrt{26916} \approx 164 \]
Обозначим — получим два корня:
\[ n_1 = \frac{-4 + 164}{20} = \frac{160}{20} = 8 \] \[ n_2 = \frac{-4 - 164}{20} = \frac{-168}{20} = -8.4 \]
Поскольку \( n \) — количество секунд, оно должно быть положительным, и интересует минимальное целое \( n \), при котором сумма больше или равна 336.
Неравенство: \( 10n^2 + 4n - 672 \ge 0 \).
Положительный корень — \( n \approx 8 \).
Для арифметической прогрессии, в которую входит целое число, нужно проверить:
- Для \( n = 8 \):
\[ S_8 = \frac{8(10 \times 8 + 4)}{2} = \frac{8(80 + 4)}{2} = \frac{8 \times 84}{2} = 4 \times 84 = 336 \]
Итак, за 8 секунд пролетает 336 метров.
Ответ:
Камень достигнет дна ущелья за 8 секунд.
Если нужно, я могу дать закрепляющее объяснение или проверить результат!
