Конечно! Вот подробные решения всех заданных интегралов с объяснениями:
Задача 1: ∫₁⁴ (3 - x) dx
Шаг 1: Разбиваем интеграл на части
∫₁⁴ (3 - x) dx = ∫₁⁴ 3 dx - ∫₁⁴ x dx
Шаг 2: Находим интегралы по отдельно
- ∫ 3 dx = 3x
- ∫ x dx = (1/2) x²
Шаг 3: Подставляем пределы
- Для ∫₁⁴ 3 dx: 3x |₁⁴ = 3(4) - 3(1) = 12 - 3 = 9
- Для ∫₁⁴ x dx: (1/2) x² |₁⁴ = (1/2)(16) - (1/2)(1) = 8 - 0.5 = 7.5
Шаг 4: Итог
Ответ: 9 - 7.5 = 1.5
Задача 3: ∫₀π/₂ cos x dx
Шаг 1: Знать интеграл косинуса
∫ cos x dx = sin x + C
Шаг 2: Подставляем пределы
sin x |₀π/₂ = sin(π/2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
Ответ: 1
Задача 4: ∫₀¹ (2x³)² dx
Шаг 1: Упростим выражение внутри интеграла
(2x³)² = 4x⁶
Шаг 2: Интегрируем
∫ 4x⁶ dx = 4 * (1/7) x⁷ = (4/7) x⁷
Шаг 3: Подставляем пределы
(4/7) x⁷ |₀¹ = (4/7)(1) - (4/7)(0) = 4/7
Ответ: 4/7
Задача 5: ∫₁² dx/x
Шаг 1: Известный интеграл
∫ dx/x = ln|x| + C
Шаг 2: Подставляем пределы
ln|x| |₁² = ln(2) - ln(1) = ln(2) - 0 = ln(2)
Ответ: ln(2)
Задача 6: ∫₁⁵ √(2x - 1)³ dx
Шаг 1: Внутреннее выражение
√(2x - 1) = (2x - 1)^{1/2}
Весь интеграл: ∫₁⁵ (2x - 1)^{3/2} dx
Шаг 2: Замена переменной
Обозначим u = 2x - 1 → du = 2 dx → dx = du/2
Пределы по u: при x=1 → u=2(1)-1=1; при x=5 → u=2(5)-1=9
Шаг 3: Перепишем интеграл
∫_{u=1}^{9} u^{3/2} * (1/2) du = (1/2) ∫₁⁹ u^{3/2} du
Шаг 4: Интегрируем
∫ u^{3/2} du = (u^{5/2}) / (5/2) = (2/5) u^{5/2}
Шаг 5: Подставляем пределы
Ответ: (1/2) * (2/5) [u^{5/2}]₁⁹ = (1/5) [9^{5/2} - 1^{5/2}]
Рассчитаем:
9^{5/2} = (√9)^5 = 3^5 = 243
Итог:
Ответ: (1/5)(243 - 1) = (1/5) * 242 = 242/5
Если нужно, я могу помочь с более подробными объяснениями каждого шага!
