14. Прокофий Кузьмич каждый день совершает пешие прогулки. Начинал он с 30-минутной прогулки в первый день и увеличивал время прогулки в каждый следующий день на одинаковое…

Давайте пошагово решим задачу.

Дано:

• Первый день: прогулка длится 30 минут.
• Каждый следующий день: время прогулки увеличивается на одинаковое количество минут \(d\).
• На 6-й день: прогулка в два раза дольше, чем во 2-й.
• Сегодняшний день (предположим, это \(n\)-й день): продолжительность прогулки составляет 2 часа 10 минут = 130 минут.

Обозначения:

• \(a_1 = 30\) минут – продолжительность прогулки в первый день.
• \(d\) – постоянное увеличения времени прогулки в минуту.
• \(a_n\) – продолжительность прогулки в \(n\)-й день, тогда:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Шаг 1: Выразим информацию о 2-м и 6-м дне

• \(a_2 = a_1 + d = 30 + d\)
• \(a_6 = a_1 + 5d = 30 + 5d\)

По условию:
\[a_6 = 2 \times a_2\]

Подставим выражения:
\[ 30 + 5d = 2(30 + d) \] \[ 30 + 5d = 60 + 2d \]

Перенесем все в одну сторону:
\[ 30 + 5d - 60 - 2d = 0 \] \[ (30 - 60) + (5d - 2d) = 0 \] \[ -30 + 3d = 0 \]

Найдем \(d\):
\[ 3d = 30 \] \[ d = 10 \]

Шаг 2: Определим продолжительность прогулки в разные дни

Теперь, зная \(d = 10\) минут:

• \(a_2 = 30 + 10 = 40\) минут
• \(a_6 = 30 + 5 \times 10 = 30 + 50 = 80\) минут

Шаг 3: Найдём день, которому соответствует продолжительность 130 минут

Обозначим этот день как \(n\):

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Подставим известные значения:

\[ 130 = 30 + (n-1) \times 10 \]

Вычтем 30 из обеих частей:

\[ 130 - 30 = (n-1) \times 10 \] \[ 100 = (n-1) \times 10 \]

Делим обе части на 10:

\[ n - 1 = 10 \] \[ n = 11 \]

Ответ:

Прокофий Кузьмич совершает прогулки в течение 11 дней, при этом на сегодняшний день его прогулка составляет 2 часа 10 минут (130 минут).

Если нужно, я могу дополнительно объяснить любой шаг!