Задумали трёхзначное число, которое делится на 13 и последняя цифра которого в 4 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном…

Обозначим задуманное число как \( ABC \), где \( A \), \( B \), \( C \) — его цифры. Тогда число можно записать как:

\[ 100A + 10B + C \]

По условию:

1. Оно делится на 13: \[ (100A + 10B + C) \equiv 0 \pmod{13} \]

2. Последняя цифра в 4 раза меньше первой: \[ C = \frac{A}{4} \]

Поскольку \( A \) — цифра (от 1 до 9), а \( C \) — цифра (от 0 до 9), то \( C \) и \( A \) — целые числа, и:

\[ A \text{ кратно } 4 \]

Возможные значения для \( A \):

\[ A = 4, 8 \]

Тогда:

• Если \( A=4 \), то \( C = 1 \).
• Если \( A=8 \), то \( C = 2 \).

---

Рассмотрим случай 1: \( A=4, C=1 \)

Число: \( 400 + 10B + 1 = 401 + 10B \)

Также рассмотрим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке:

\[ 100C + 10B + A = 100 \times 1 + 10B + 4 = 104 + 10B \]

Разность:

\[ (401 + 10B) - (104 + 10B) = 297 \]

Это равно 297, а условие: полученная разность меньше 400 — да,, но также важно проверить, что \( 297 \) — это разность, которая получается, и она действительно равна 297, соответствующему условию.

---

Рассмотрим случай 2: \( A=8, C=2 \)

Число: \( 800 + 10B + 2 = 802 + 10B \)

Обратное число:

\[ 100 \times 2 + 10B + 8 = 200 + 10B + 8 = 208 + 10B \]

Разность:

\[ (802 + 10B) - (208 + 10B) = 594 \]

Результат 594 — тоже, оно больше 400, значит, условие что разность меньше 400, выполняется (594 — не меньше 400? — нет, 594 больше 400, значит, условие нарушается, так как условие: "Полученная разность оказалась меньше 400". Тогда, исключаем этот вариант).

---

Сделаем вывод:

• Для \( A=4, C=1 \), разность равна 297, что меньше 400 — условие выполнено.
• Для \( A=8, C=2 \), разность равна 594, превышает 400 — условие не выполнено.

Но важно ещё проверить, чтобы число делилось на 13.

---

Проверим делимость на 13:

• \( 401 + 10B \equiv 0 \pmod{13} \) при \( A=4, C=1 \).

Рассчитаем:

\[ 401 + 10B \equiv 0 \pmod{13} \]

Первым вычислим \( 401 \mod 13 \):

13 × 30 = 390, 401 - 390 = 11 → \( 401 \equiv 11 \pmod{13} \)

Тогда:

\[ 11 + 10B \equiv 0 \pmod{13} \]

Требуем:

\[ 10B \equiv -11 \equiv 2 \pmod{13} \]

Потому что \( -11 \equiv 2 \pmod{13} \), так как \( -11 + 13 = 2 \).

Теперь решим:

\[ 10B \equiv 2 \pmod{13} \]

Обратимся к обратному элементу к 10 по модулю 13.

Найдем число \( x \), такое что:

\[ 10x \equiv 1 \pmod{13} \]

Проверим:

• \(10 \times 4 = 40 \equiv 1 \pmod{13}\), так как 13 × 3 = 39, 40 - 39=1.

Следовательно, обратный к 10 по модулю 13 — это 4.

Теперь:

\[ B \equiv 2 \times 4 \pmod{13} \]

\[ B \equiv 8 \pmod{13} \]

Цифра \( B \) должна быть однозначной цифрой (от 0 до 9). \( B=8 \) — подходит.

---

Аналогично для второго варианта \( A=8, C=2 \):

Число: \( 802 + 10B \)

Проверим делимость на 13:

\[ 802 + 10B \equiv 0 \pmod{13} \]

Вычислим \( 802 \mod 13 \):

13 × 61 = 793, 802 - 793= 9, значит:

\[ 802 \equiv 9 \pmod{13} \]

Условие:

\[ 9 + 10B \equiv 0 \pmod{13} \]

Т.е.:

\[ 10B \equiv -9 \equiv 4 \pmod{13} \]

Обратный к 10 по модулю 13 — 4 (как выше).

Тогда:

\[ B \equiv 4 \times 4 = 16 \equiv 3 \pmod{13} \]

Поскольку \( B \) — однозначная цифра:

\[ B=3 \]

Проверим разность:

\[ 594 \]

Это оказалось больше 400, что соответствует условию — разность меньше 400. Тогда возможен только случай, когда разность равна 297.

---

Итак:

• Вариант 1: число \( 4 8 1 \), если \( B=8 \)

  Проверяем делимость на 13:

  \[ 401 + 10 \times 8 = 401 + 80 = 481 \]

  Проверим:

  \[ 13 \times 37= 481 \]

  Значит число 481 делится на 13 — правда.

  Обратное число: 184, разница: \( 481 - 184 = 297 \)

  Это всё соответствует условиям задачи.

• Вариант 2: число \( 8 3 2 \):

  Проверка:

  \[ 802 + 10 \times 3 = 802 + 30 = 832 \]

  Проверим делимость:

  \[ 13 \times 64=832 \]

  Дельта:

  \[ 832 - 238 = 594 \]

  — больше 400, не подходит по условию "меньше 400".

---

Итог:

Задуманное число — 481.

---

Ответ: \(\boxed{481}\)