Задумали трёхзначное число, которое делится на 13 и последняя цифра которого в 4 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась меньше 400. Какое число было задумано?

Обозначим задуманное число как \( ABC \), где \( A \), \( B \), \( C \) — его цифры. Тогда число можно записать как: \[ 100A + 10B + C \] По условию: 1. Оно делится на 13: \[ (100A + 10B + C) \equiv 0 \pmod{13} \] 2. Последняя цифра в 4 раза меньше первой: \[ C = \frac{A}{4} \] Поскольку \( A \) — цифра (от 1 до 9), а \( C \) — цифра (от 0 до 9), то \( C \) и \( A \) — целые числа, и: \[ A \text{ кратно } 4 \] Возможные значения для \( A \): \[ A = 4, 8 \] Тогда: - Если \( A=4 \), то \( C = 1 \). - Если \( A=8 \), то \( C = 2 \). --- **Рассмотрим случай 1: \( A=4, C=1 \)** Число: \( 400 + 10B + 1 = 401 + 10B \) Также рассмотрим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке: \[ 100C + 10B + A = 100 \times 1 + 10B + 4 = 104 + 10B \] Разность: \[ (401 + 10B) - (104 + 10B) = 297 \] Это равно 297, а условие: полученная разность меньше 400 — **да,**, но также важно проверить, что \( 297 \) — это разность, которая получается, и она действительно равна 297, соответствующему условию. --- **Рассмотрим случай 2: \( A=8, C=2 \)** Число: \( 800 + 10B + 2 = 802 + 10B \) Обратное число: \[ 100 \times 2 + 10B + 8 = 200 + 10B + 8 = 208 + 10B \] Разность: \[ (802 + 10B) - (208 + 10B) = 594 \] Результат 594 — тоже, оно больше 400, значит, условие что разность меньше 400, выполняется (594 — не меньше 400? — нет, 594 больше 400, значит, условие нарушается, так как условие: "Полученная разность оказалась меньше 400". Тогда, исключаем этот вариант). --- Сделаем вывод: - Для \( A=4, C=1 \), разность равна 297, что меньше 400 — условие выполнено. - Для \( A=8, C=2 \), разность равна 594, превышает 400 — условие не выполнено. Но важно ещё проверить, чтобы число делилось на 13. --- **Проверим делимость на 13:** - \( 401 + 10B \equiv 0 \pmod{13} \) при \( A=4, C=1 \). Рассчитаем: \[ 401 + 10B \equiv 0 \pmod{13} \] Первым вычислим \( 401 \mod 13 \): 13 × 30 = 390, 401 - 390 = 11 → \( 401 \equiv 11 \pmod{13} \) Тогда: \[ 11 + 10B \equiv 0 \pmod{13} \] Требуем: \[ 10B \equiv -11 \equiv 2 \pmod{13} \] Потому что \( -11 \equiv 2 \pmod{13} \), так как \( -11 + 13 = 2 \). Теперь решим: \[ 10B \equiv 2 \pmod{13} \] Обратимся к обратному элементу к 10 по модулю 13. Найдем число \( x \), такое что: \[ 10x \equiv 1 \pmod{13} \] Проверим: - \(10 \times 4 = 40 \equiv 1 \pmod{13}\), так как 13 × 3 = 39, 40 - 39=1. Следовательно, обратный к 10 по модулю 13 — это 4. Теперь: \[ B \equiv 2 \times 4 \pmod{13} \] \[ B \equiv 8 \pmod{13} \] Цифра \( B \) должна быть однозначной цифрой (от 0 до 9). \( B=8 \) — подходит. --- **Аналогично для второго варианта \( A=8, C=2 \):** Число: \( 802 + 10B \) Проверим делимость на 13: \[ 802 + 10B \equiv 0 \pmod{13} \] Вычислим \( 802 \mod 13 \): 13 × 61 = 793, 802 - 793= 9, значит: \[ 802 \equiv 9 \pmod{13} \] Условие: \[ 9 + 10B \equiv 0 \pmod{13} \] Т.е.: \[ 10B \equiv -9 \equiv 4 \pmod{13} \] Обратный к 10 по модулю 13 — 4 (как выше). Тогда: \[ B \equiv 4 \times 4 = 16 \equiv 3 \pmod{13} \] Поскольку \( B \) — однозначная цифра: \[ B=3 \] Проверим разность: \[ 594 \] Это оказалось больше 400, что соответствует условию — разность меньше 400. Тогда возможен только случай, когда разность равна 297. --- **Итак:** - Вариант 1: число \( 4 8 1 \), если \( B=8 \) Проверяем делимость на 13: \[ 401 + 10 \times 8 = 401 + 80 = 481 \] Проверим: \[ 13 \times 37= 481 \] Значит число 481 делится на 13 — правда. Обратное число: 184, разница: \( 481 - 184 = 297 \) Это всё соответствует условиям задачи. - Вариант 2: число \( 8 3 2 \): Проверка: \[ 802 + 10 \times 3 = 802 + 30 = 832 \] Проверим делимость: \[ 13 \times 64=832 \] Дельта: \[ 832 - 238 = 594 \] — больше 400, не подходит по условию "меньше 400". --- ### Итог: Задуманное число — **481**. --- **Ответ: \(\boxed{481}\)**