Найдите интервалы возрастания и убывания функции f(x)=-x3/3+5x2/2-6x+8
Давайте пошагово разберем решение задачи по нахождению интервалов возрастания и убывания функции:
\[ f(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 6x + 8 \]
Шаг 1: Найти первую производную \( f'(x) \)
Для этого дифференцируем каждое слагаемое функции:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left(-\frac{x^3}{3}\right) + \frac{d}{dx} \left(\frac{5x^2}{2}\right) - \frac{d}{dx}(6x) + \frac{d}{dx}(8) \]
- \(\frac{d}{dx} \left(-\frac{x^3}{3}\right) = -x^2\)
- \(\frac{d}{dx} \left(\frac{5x^2}{2}\right) = 5x\)
- \(\frac{d}{dx} (6x) = 6\)
- \\(\frac{d}{dx} (8) = 0\)
Итак, первая производная:
\[ f'(x) = -x^2 + 5x - 6 \]
Шаг 2: Найти критические точки, решая уравнение \( f'(x) = 0 \)
Решаем:
\[ -x^2 + 5x - 6 = 0 \]
или
\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]
Это квадратное уравнение, которое решается по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a=1 \), \(b=-5\), \(c=6\).
Рассчитаем дискриминант:
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]
Тогда:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \]
Получаем два критических значения:
- \( x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \)
- \( x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \)
Шаг 3: Анализ знака \( f'(x) \) на промежутках
Рассмотрим знак производной на промежутках:
- \( (-\infty, 2) \)
- \( (2, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Для этого возьмем тестовые точки:
- \( x=1 \) для \((- \infty, 2)\)
- \( x=2.5 \) для \((2, 3)\)
- \( x=4 \) для \((3, +\infty)\)
Рассчитаем \( f'(x) \):
- \( x=1 \):
\[ f'(1) = -1 + 5 - 6 = -2 < 0 \] Знак: минус — функция убывает.
- \( x=2.5 \):
\[ f'(2.5) = -(2.5)^2 + 5 \times 2.5 - 6 = -6.25 + 12.5 - 6 = 0.25 > 0 \] Знак: плюс — функция возрастает.
- \( x=4 \):
\[ f'(4) = -16 + 20 - 6 = -2 < 0 \] Знак: минус — функция убывает.
Ответ:
- Интервал возрастания: \((2, 3)\)
- Интервал убывания: \((-\infty, 2) \cup (3, +\infty)\)
Если нужно, могу помочь с графиком или дополнительными рассуждениями.
