Найдите интервалы возрастания и убывания функции f(x)=-x3/3+5x2/2-6x+8

Давайте пошагово разберем решение задачи по нахождению интервалов возрастания и убывания функции: \[ f(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 6x + 8 \] --- ### Шаг 1: Найти первую производную \( f'(x) \) Для этого дифференцируем каждое слагаемое функции: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left(-\frac{x^3}{3}\right) + \frac{d}{dx} \left(\frac{5x^2}{2}\right) - \frac{d}{dx}(6x) + \frac{d}{dx}(8) \] - \(\frac{d}{dx} \left(-\frac{x^3}{3}\right) = -x^2\) - \(\frac{d}{dx} \left(\frac{5x^2}{2}\right) = 5x\) - \(\frac{d}{dx} (6x) = 6\) - \\(\frac{d}{dx} (8) = 0\) Итак, первая производная: \[ f'(x) = -x^2 + 5x - 6 \] --- ### Шаг 2: Найти критические точки, решая уравнение \( f'(x) = 0 \) Решаем: \[ -x^2 + 5x - 6 = 0 \] или \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Это квадратное уравнение, которое решается по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a=1 \), \(b=-5\), \(c=6\). Рассчитаем дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \] Тогда: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \] Получаем два критических значения: - \( x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \) - \( x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \) --- ### Шаг 3: Анализ знака \( f'(x) \) на промежутках Рассмотрим знак производной на промежутках: - \( (-\infty, 2) \) - \( (2, 3) \) - \( (3, +\infty) \) Для этого возьмем тестовые точки: - \( x=1 \) для \((- \infty, 2)\) - \( x=2.5 \) для \((2, 3)\) - \( x=4 \) для \((3, +\infty)\) Рассчитаем \( f'(x) \): 1. \( x=1 \): \[ f'(1) = -1 + 5 - 6 = -2 < 0 \] **Знак:** минус — функция убывает. 2. \( x=2.5 \): \[ f'(2.5) = -(2.5)^2 + 5 \times 2.5 - 6 = -6.25 + 12.5 - 6 = 0.25 > 0 \] **Знак:** плюс — функция возрастает. 3. \( x=4 \): \[ f'(4) = -16 + 20 - 6 = -2 < 0 \] **Знак:** минус — функция убывает. --- ### **Ответ:** - **Интервал возрастания:** \((2, 3)\) - **Интервал убывания:** \((-\infty, 2) \cup (3, +\infty)\) --- Если нужно, могу помочь с графиком или дополнительными рассуждениями.