Расставьте знаки препинания. Укажите предложения, в которых нужно поставить ОДНУ запятую. Запишите номера этих предложений. 1) Ему мешали сосредоточиться крики чаек и паровозные…

Проанализируем каждое предложение и определим, где нужно поставить запятую, а также укажем номера таких предложений.

Общие правила:

• Запятая ставится, если в сложносочинённом предложении соединены однородные члены, разделённые союзами "и", "да" (в значении "и"), "или" и т.д., когда перед союзом стоит часть однородных членов, и после неё тоже.

• Не ставится запятая, если однородные члены соединены одиночным союзом или не требуют разделения.

Рассмотрим каждое предложение.

1)

"Ему мешали сосредоточиться крики чаек и паровозные гудки и даже тиканье старинных часов."

• Есть цепочка однородных дополнений: "крики чаек", "паровозные гудки", "даже тиканье старинных часов".
• Союз — "и" повторяющийся, соединяет однородные члены.
• Правило: при однородных членах, соединённых повторяющимися союзами "и" без запятой, запятая не ставится.
  Вывод: запятая в этом предложении не нужна.

2)

"Мы сидели на террасе и любовались оранжевым закатом и мятно-зелёными очертаниями гор."

• Однородные сказуемые: "сидели" и "любовались".
• Есть два однородных дополнения: "оранжевым закатом" и "мятно-зелёными очертаниями гор".
• Союз — "и", повторяющийся.
• Если однородные дополнения соединены одним союзом "и" и не требуют разделения для смысла, запятая не ставится.
  Вывод: запятая не нужна.

3)

"Сероглазый король не обманул и скоро произошла долгожданная встреча возлюбленных."

• Две части: "Сероглазый король не обманул" и "скоро произошла долгожданная встреча возлюбленных".
• Связано союзом "и".
• Вторая часть — сказуемое, очевидно, — сложносочинённое предложение или распространённое, соединённое союзом "и".
• Здесь запятая не требуется, так как части связаны с одной мыслью, а союз "и" соединяет два простых предложения в сложносочинённое, при этом предикаты не требуют разделения запятой в таких случаях по нормам.
  Вывод: запятая не нужна.

4)

"Прогноз обещал грозу и нам пришлось быстро выбираться из леса."

• Однородные члены: "прогноз обещал грозу" и "нам пришлось быстро выбираться из леса".
• Связано союзом "и".
• Предложения разные по смыслу, но объединены союзом "и".
• В таком случае, при соединении двух частей под одним союзом без запятой, запятая не ставится.
  Вывод: запятая не нужна.

5)

"Старые деревья в некоторых странах награждаются медалями за возраст и эти медали вывешиваются на стволах."

• Есть однородные сказуемые: "награждаются" и "вывешиваются".
• Они соединены союзом "и".
• В данном случае — два простых предложения, соединённые союзом "и", но без запятой, так как это однородные сказуемые в сложносочинённом предложении.
  Вывод: в этом случае запятая не требуется.

ИТОГ:
По условиям задачи, нужно указать номера предложений, где нужно поставить одну запятую.

Анализ показывает, что ни в одном из предложений запятая при правильной пунктуации не обязательна.

Однако, если бы рассматривали возможное пунктуационное оформление, то, например, в предложении 5 можно было бы поставить запятую, выделяя части, но по современным правилам в этом случае запятая не обязательна.

Ответ:

Предложений, в которых нужно поставить ровно одну запятую, — ни одного.

Если строго по формулировке задачи, то ответ:
нужно поставить запятую — ни в одном из предложений.