Рассмотрим задачу подробнее.
Дано:
- Количество молей воздуха: ( v = 15 ) моль
- Начальное давление: ( p_1 = 1 ) атм
- Конечное давление: ( p_2 ) — нужно найти
- Температура: ( T = 304~K )
- Постоянная: ( a = 2.2 )
- Работа при сжатии: ( A = 13376~Дж )
- Подразумевается, что сжатие изотермическое.
Выражение для работы при изотермическом сжатии/расширении дано как:
[
A = a v T \log_2 \left( \frac{p_2}{p_1} \right)
]
Нам нужно найти ( p_2 ).
Шаг 1: Перепишем формулу для работы и выразим ( p_2 ):
[
A = a v T \log_2 \left( \frac{p_2}{p_1} \right)
]
Отсюда:
[
\log_2 \left( \frac{p_2}{p_1} \right) = \frac{A}{a v T}
]
Поскольку:
[
\frac{p_2}{p_1} = 2^{\frac{A}{a v T}}
]
И окончательное давление:
[
p_2 = p_1 \times 2^{\frac{A}{a v T}}
]
Шаг 2: Подставим известные значения:
Перепишем:
[
p_2 = 1, \text{атм} \times 2^{\frac{A}{a v T}}
]
Подставим значения:
- ( A = 13376~Дж )
- ( a = 2.2 )
- ( v = 15 )
- ( T = 304~K )
Посчитаем показатель степени:
[
\frac{A}{a v T} = \frac{13376}{2.2 \times 15 \times 304}
]
Шаг 3: Вычисление знаменателя:
[
2.2 \times 15 = 33
]
[
33 \times 304 = 33 \times (300 + 4) = 33 \times 300 + 33 \times 4 = 9900 + 132 = 10032
]
Теперь числитель:
[
\frac{13376}{10032} \approx 1.333
]
Шаг 4: Вычислим ( p_2 ):
[
p_2 = 1 \times 2^{1.333}
]
Используем свойство:
[
2^{1.333} = 2^{1 + 0.333} = 2^1 \times 2^{0.333}
]
[
2^1 = 2
]
[
2^{0.333} \approx \sqrt[3]{2} \approx 1.26
]
То есть:
[
p_2 \approx 2 \times 1.26 = 2.52~\text{атм}
]
Ответ:
[
\boxed{
p_2 \approx 2.52~\text{атм}
}
]
Это давление воздуха в колоколе после сжатия, если при этом была совершена указанная работа.
