Водолазный колокол , содержащий v = 15 молей воздуха при давлении p1 = 1 атмосфера, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до…

Рассмотрим задачу подробнее.

Дано:

• Количество молей воздуха: \( v = 15 \) моль
• Начальное давление: \( p_1 = 1 \) атм
• Конечное давление: \( p_2 \) — нужно найти
• Температура: \( T = 304~K \)
• Постоянная: \( a = 2.2 \)
• Работа при сжатии: \( A = 13376~Дж \)
• Подразумевается, что сжатие изотермическое.

Выражение для работы при изотермическом сжатии/расширении дано как: \[ A = a v T \log_2 \left( \frac{p_2}{p_1} \right) \]

Нам нужно найти \( p_2 \).

Шаг 1: Перепишем формулу для работы и выразим \( p_2 \):

\[ A = a v T \log_2 \left( \frac{p_2}{p_1} \right) \] Отсюда: \[ \log_2 \left( \frac{p_2}{p_1} \right) = \frac{A}{a v T} \]

Поскольку: \[ \frac{p_2}{p_1} = 2^{\frac{A}{a v T}} \]

И окончательное давление: \[ p_2 = p_1 \times 2^{\frac{A}{a v T}} \]

Шаг 2: Подставим известные значения:

Перепишем: \[ p_2 = 1\, \text{атм} \times 2^{\frac{A}{a v T}} \]

Подставим значения:

• \( A = 13376~Дж \)
• \( a = 2.2 \)
• \( v = 15 \)
• \( T = 304~K \)

Посчитаем показатель степени:

\[ \frac{A}{a v T} = \frac{13376}{2.2 \times 15 \times 304} \]

Шаг 3: Вычисление знаменателя:

\[ 2.2 \times 15 = 33 \] \[ 33 \times 304 = 33 \times (300 + 4) = 33 \times 300 + 33 \times 4 = 9900 + 132 = 10032 \]

Теперь числитель:

\[ \frac{13376}{10032} \approx 1.333 \]

Шаг 4: Вычислим \( p_2 \):

\[ p_2 = 1 \times 2^{1.333} \]

Используем свойство:

\[ 2^{1.333} = 2^{1 + 0.333} = 2^1 \times 2^{0.333} \] \[ 2^1 = 2 \] \[ 2^{0.333} \approx \sqrt[3]{2} \approx 1.26 \]

То есть: \[ p_2 \approx 2 \times 1.26 = 2.52~\text{атм} \]

Ответ:

\[ \boxed{ p_2 \approx 2.52~\text{атм} } \]

Это давление воздуха в колоколе после сжатия, если при этом была совершена указанная работа.