равнобокая трапеция с основаниями 10 см и 18 см и высотой 3 см вращается около меньшего основания найдите обьем тела вращения
Рассмотрим задачу по вычислению объема тела вращения, образованного вращением равнобокой трапеции вокруг меньшего основания.
Дано:
- Меньшее основание \( a = 10 \, \text{см} \)
- Большее основание \( b = 18 \, \text{см} \)
- Высота трапеции \( h = 3 \, \text{см} \)
Задача: найти объем тела вращения при вращении трапеции вокруг меньшего основания (то есть вокруг отрезка длиной 10 см).
Шаг 1: Построение фигуры и анализ
Равнобокая трапеция — это фигура, у которой боковые стороны равны.
При вращении вокруг меньшего основания она образует тело, похожее на "подушку", с двумя окружностями в концах.
Шаг 2: расположение трапеции и ось вращения
Пусть трапеция расположена так, что основание длиной 10 см — это горизонтальная ось вращения (ось \( Ox \)), и вершины расположены на высоте \( y \).
Обозначим:
- Нижнее основание — это отрезок \( AB \) длиной 10 см (на нижней оси).
- Верхнее основание — \( CD \), длиной 18 см, расположенное выше на высоте \( h = 3 \) см.
Чтобы найти радиусы для вращения, будем считать ось вращения вдоль меньшего основания — то есть вдоль отрезка \( AB \).
Шаг 3: Уравнение линии трапеции
Для определения радиусов вращения из центра трапеции, вне зависимости от конкретной позиции, удобно рассчитать радиус на каждом уровне по горизонтальной линии.
Рассмотрим линию, соединяющую точки \( C \) и \( D \). Она образует наклон, и длины оснований позволяют выразить уравнение боковой стороны.
Пусть центральная ось — это \( Ox \), и расположим трапецию так, чтобы меньшее основание было на уровне \( y=0 \), а верхнее — на уровне \( y=h=3 \) см.
Нижняя сторона — на \( y=0 \), длина 10 см, центр — в точке \( x=0 \). Тогда координаты: \( A(-5, 0) \), \( B(5, 0) \).
Верхняя сторона — на \( y=3 \), длина 18 см. Центр этой стороны — в точке \( x=0 \) (так как трапеция симметрична), точки: \( C(-9, 3) \), \( D(9, 3) \).
Шаг 4: Образование тела вращения
Так как вращение происходит вокруг меньшего основания, рассматриваем цилиндрический тип тела:
- Радиус на нижнем уровне (на \( y=0 \)) — 5 см (половина ширины нижнего основания).
- Радиус на верхнем уровне — 9 см.
Объем тела вращения можно найти, представляя его как оборот фигуры, образованной фигурами с радиусами, изменяющимися по высоте.
Шаг 5: Используем метод интегрирования для вычисления объема
Объем тела, вращающегося вокруг горизонтальной оси, выражается формулой:
\[ V = \pi \int_{a}^{b} [R(y)]^2 dy \]
где \( R(y) \) — радиус на высоте \( y \).
Радиус меняется по линейной функции между уровнями:
- при \( y=0 \), \( R(0) = 5 \);
- при \( y=3 \), \( R(3) = 9 \).
Линейная функция радиуса:
\[ R(y) = R(0) + \frac{R(3) - R(0)}{3} y = 5 + \frac{9 - 5}{3} y = 5 + \frac{4}{3} y \]
Шаг 6: Вычисление объема
Подставляем в формулу:
\[ V = \pi \int_{0}^{3} \left( 5 + \frac{4}{3} y \right)^2 dy \]
Раскроем скобки:
\[ (5 + \frac{4}{3} y)^2 = 25 + 2 \times 5 \times \frac{4}{3} y + \left( \frac{4}{3} y \right)^2 = 25 + \frac{40}{3} y + \frac{16}{9} y^2 \]
Теперь интегрируем по \( y \) от 0 до 3:
\[ V = \pi \int_0^3 \left(25 + \frac{40}{3} y + \frac{16}{9} y^2 \right) dy \]
Разделим интеграл на суммы:
\[ V= \pi \left[ \int_0^3 25 dy + \int_0^3 \frac{40}{3} y dy + \int_0^3 \frac{16}{9} y^2 dy \right] \]
Вычислим каждый отдельно:
\(\int_0^3 25 dy = 25 y \big|_0^3 = 25 \times 3 = 75\)
\(\int_0^3 \frac{40}{3} y dy = \frac{40}{3} \times \frac{y^2}{2}\big|_0^3 = \frac{40}{3} \times \frac{9}{2} = \frac{40 \times 9}{3 \times 2} = \frac{360}{6} = 60\)
\(\int_0^3 \frac{16}{9} y^2 dy = \frac{16}{9} \times \frac{y^3}{3}\big|_0^3 = \frac{16}{9} \times \frac{27}{3} = \frac{16}{9} \times 9 = 16\)
Теперь суммируем:
\[ V = \pi (75 + 60 + 16) = \pi \times 151 \]
Ответ:
\[ \boxed{ V = 151\pi \text{ кубических сантиметров} } \]
Это примерно:
\[ V \approx 151 \times 3.1416 \approx 474.8 \text{ см}^3 \]
Если есть вопросы или нужно более подробно разобрать какие-либо шаги — спрашивайте!
