Постройте график функции y= [x(x+4), если x≥0 -x(x+4)если x<0 и определите, при каких значениях а прямая у = а имеет с графиком ровно три общие точки. Постройте график функции.…

Давайте разберем задачу по шагам:

1. Функция задана так: \[ y = \begin{cases} x(x+4), & \text{если } x \ge 0 \\ -x(x+4), & \text{если } x<0 \end{cases} \] Это два разных кусочка функции — для \(x \ge 0\) и \(x < 0\).

2. Построение графика:

   • Для \(x \ge 0\): \[ y = x^2 + 4x \] Это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \((-2, -4)\), но так как рассматриваем только \(x \ge 0\), график — часть этой параболы, начинаясь в точке \(x=0\), где \(y=0\).

   • Для \(x<0\): \[ y = -x^2 - 4x \] Это тоже парабола, но с открытой вниз, со вершиной в точке \((-2, 4)\).

3. График:

   • Для \(x \ge 0\): парабола, начинаясь в (0,0), идет вверх.
   • Для \(x<0\): парабола с вершиной в \(-2, 4\), симметрична относительно вертикальной оси.

4. Определение при каких \(a\) прямая \(y = a\) пересекает график ровно 3 раза:

   Рассмотрим линию \(y=a\). Она пересекает два кусочка парабол:

   • В диапазоне \(x \ge 0\): \[ y = x^2 + 4x = a \] Решения: \[ x^2 + 4x - a=0 \]

   • В диапазоне \(x<0\): \[ y = -x^2 - 4x = a \] Решения: \[ -x^2 - 4x - a=0 \Rightarrow x^2 + 4x + a=0 \]

   Для каждого из уравнений найдем корни при вариации \(a\).

5. Анализ корней:

   • В первом случае (для \(x \ge 0\)): \[ x^2 + 4x - a=0 \] Количество решений зависит от дискриминанта: \[ D_1 = 16 + 4a \]

   • Во втором случае (для \(x<0\)): \[ x^2 + 4x + a=0 \] Дискриминант: \[ D_2 = 16 - 4a \]

6. Рассмотрим ситуации:

   • Чтобы у линии было ровно 3 точек пересечения с графиком, нужно, чтобы:
     • В одном диапазоне было два пересечения (два корня),
     • В другом — одно (или одно из них — на границе \(x=0\) или совпадает).

   Обычно так бывает, если:

   • В одном уравнении дискриминант равен нулю (одно решение),
   • В другом — два решения.

   Проверяем случаи:

   Случай 1: \[ D_2=0 \Rightarrow 16 - 4a=0 \Rightarrow a=4 \] Тогда в первом уравнении: \[ D_1=16+4a=16+16=32>0 \] — два решения, а во втором случае — одно (при \(a=4\)).

   Но с учетом области \(x<0\), корень должен быть отрицательным. Проверим:

   Для \(a=4\): \[ x^2 + 4x + 4=0 \] Корни: \[ x=\frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = -2 \] Это единственное решение, \(x = -2\). Оно подходит для области \(x<0\).

   В первом уравнении: \[ x^2 + 4x - 4=0 \] Дискриминант: \[ D_1=16+4*4=16+16=32>0 \] Корни: \[ x=\frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2} \] Из этих, чтобы попасть в диапазон \(x \ge 0\), нужен \(x \ge 0\). И только \(x= -2+2\sqrt{2}\), так как \(\sqrt{2}\approx 1.41\), получается приблизительно \(x \approx -2 + 2.83 = 0.83 > 0\). Значит, корень подходит.

   Итого, при \(a=4\) у нас:

   • одно решение для \(x<0\),
   • два решений для \(x\ge 0\), — всего 3 точки пересечения.

Ответ:
\[ \boxed{ \text{Прямая } y=a \text{ пересекает график ровно в 3 точках при } a=4. } \]

Кратко:

• График состоит из двух парабол, отраженных относительно \(x=0\).
• У линии \(y=a\) ровно три пересечения, когда дискриминант у одного уравнения равен нулю (одно решение), а у другого — положительный дискриминант (два решения).
• Это происходит при \(a=4\).