каучуковый мячикс с силой бросили на асфальт. отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в 2 раза меньше предыдущей. При каком по…

Давайте подробно решим задачу пошагово.

Дано:

• Первый прыжок: высота — 2,4 м (240 см).
• Каждый следующий прыжок — в 2 раза меньше предыдущего, т.е. высота следующего прыжка:
  \[ h_{n+1} = \frac{h_n}{2} \]

Требуется определить:
При каком по счету прыжке высота впервые станет меньше 5 см (0,05 м).

Шаг 1: Записываем формулу для высоты прыжка

Пусть \( h_1 \) — высота первого прыжка, тогда для \( n \)-го прыжка:
\[ h_n = h_1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]

где

• \( h_1 = 2.4\, \text{м} \),
• \( h_n \) — высота \( n \)-го прыжка.

Шаг 2: Записываем условие

Нам нужно найти первое \( n \), для которого:
\[ h_n < 0.05\, \text{м} \]

Подставим выражение для \( h_n \):
\[ 2.4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.05 \]

Шаг 3: Решаем неравенство

Делим обе части на 2.4:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{0.05}{2.4} \]

Вычисляем правую часть:
\[ \frac{0.05}{2.4} \approx 0.02083 \]

Теперь у нас:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.02083 \]

Шаг 4: Логарифмы

Для решения возьмем логарифм обеих частей по основанию 2:
\[ \log_{2} \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right) < \log_{2} 0.02083 \]

используя свойство логарифма \(\log_{a} (b^{c}) = c \log_{a} b\):
\[ (n-1) \times \log_{2}\left(\frac{1}{2}\right) < \log_{2} 0.02083 \]

Знаем, что \(\log_{2} \frac{1}{2} = -1\), поэтому:
\[ (n-1) \times (-1) < \log_{2} 0.02083 \]

или:
\[ -(n-1) < \log_{2} 0.02083 \]

Посчитаем \(\log_{2} 0.02083\):

\[ \log_{2} 0.02083 = \frac{\ln 0.02083}{\ln 2} \]

Используем приближительные значения:
\(\ln 0.02083 \approx -3.87\)
\(\ln 2 \approx 0.693\)

Тогда:
\[ \log_{2} 0.02083 \approx \frac{-3.87}{0.693} \approx -5.58 \]

Получаем:
\[ -(n-1) < -5.58 \]

умножая обе части на -1, изменится знак:
\[ n-1 > 5.58 \]

Следовательно:
\[ n > 6.58 \]

Ответ:

Поскольку прыжки считаются по счету целыми числами, \( n \) — это номер прыжка, при котором высота впервые станет меньше 5 см, — это больше 6.58, то есть:

\[ n = 7 \]

На 7-м прыжке высота станет впервые меньше 5 см.

Если есть дополнительные вопросы, я с радостью помогу!