Давайте подробно решим задачу пошагово.
Дано:
- Первый прыжок: высота — 2,4 м (240 см).
- Каждый следующий прыжок — в 2 раза меньше предыдущего, т.е. высота следующего прыжка:
[
h_{n+1} = \frac{h_n}{2}
]
Требуется определить:
При каком по счету прыжке высота впервые станет меньше 5 см (0,05 м).
Шаг 1: Записываем формулу для высоты прыжка
Пусть ( h_1 ) — высота первого прыжка, тогда для ( n )-го прыжка:
[
h_n = h_1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}
]
где
- ( h_1 = 2.4, \text{м} ),
- ( h_n ) — высота ( n )-го прыжка.
Шаг 2: Записываем условие
Нам нужно найти первое ( n ), для которого:
[
h_n < 0.05, \text{м}
]
Подставим выражение для ( h_n ):
[
2.4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.05
]
Шаг 3: Решаем неравенство
Делим обе части на 2.4:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{0.05}{2.4}
]
Вычисляем правую часть:
[
\frac{0.05}{2.4} \approx 0.02083
]
Теперь у нас:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.02083
]
Шаг 4: Логарифмы
Для решения возьмем логарифм обеих частей по основанию 2:
[
\log_{2} \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right) < \log_{2} 0.02083
]
используя свойство логарифма (\log_{a} (b^{c}) = c \log_{a} b):
[
(n-1) \times \log_{2}\left(\frac{1}{2}\right) < \log_{2} 0.02083
]
Знаем, что (\log_{2} \frac{1}{2} = -1), поэтому:
[
(n-1) \times (-1) < \log_{2} 0.02083
]
или:
[
-(n-1) < \log_{2} 0.02083
]
Посчитаем (\log_{2} 0.02083):
[
\log_{2} 0.02083 = \frac{\ln 0.02083}{\ln 2}
]
Используем приближительные значения:
(\ln 0.02083 \approx -3.87)
(\ln 2 \approx 0.693)
Тогда:
[
\log_{2} 0.02083 \approx \frac{-3.87}{0.693} \approx -5.58
]
Получаем:
[
-(n-1) < -5.58
]
умножая обе части на -1, изменится знак:
[
n-1 > 5.58
]
Следовательно:
[
n > 6.58
]
Ответ:
Поскольку прыжки считаются по счету целыми числами, ( n ) — это номер прыжка, при котором высота впервые станет меньше 5 см, — это больше 6.58, то есть:
[
n = 7
]
На 7-м прыжке высота станет впервые меньше 5 см.
Если есть дополнительные вопросы, я с радостью помогу!
