Давайте подробно решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Общее расстояние маршрута: АВ = S (какое-то значение, обозначим через S).
- Первый автомобиль ехал с постоянной скоростью: v₁.
- Второй автомобиль ехал первую половину пути (S/2) со скоростью 72 км/ч.
- Вторую половину пути (S/2) он ехал со скоростью, которая больше скорости первого автомобиля на 10 км/ч, то есть v₂₂ = v₁ + 10.
Задача:
Найти скорость первого автомобиля v₁, при условии, что оба автомобиля прибыли в пункт В одновременно.
Шаг 1. Время, затраченное первым автомобилем
Первый автомобиль ехал с постоянной скоростью v₁ и прошёл весь путь за время:
[
t_1 = \frac{S}{v_1}
]
Шаг 2. Время второго автомобиля
Второй автомобиль:
- первую половину пути (S/2) со скоростью 72 км/ч
- вторую половину пути (S/2) со скоростью v₂₂ = v₁ + 10 км/ч
Время на первую половину:
[
t_{2,1} = \frac{S/2}{72} = \frac{S}{2 \times 72} = \frac{S}{144}
]
Время на вторую половину:
[
t_{2,2} = \frac{S/2}{v_1 + 10}
]
Общее время второго автомобиля:
[
t_2 = t_{2,1} + t_{2,2} = \frac{S}{144} + \frac{S/2}{v_1 + 10}
]
Шаг 3. Условие равенства времен
Поскольку оба автомобиля приехали одновременно:
[
t_1 = t_2
]
или
[
\frac{S}{v_1} = \frac{S}{144} + \frac{S/2}{v_1 + 10}
]
Шаг 4. Упростим уравнение
Разделим обе части уравнения на S (предполагая S ≠ 0):
[
\frac{1}{v_1} = \frac{1}{144} + \frac{1/2}{v_1 + 10}
]
Запишем:
[
\frac{1}{v_1} = \frac{1}{144} + \frac{1}{2(v_1 + 10)}
]
Шаг 5. Объединим правую часть
Приведём к общему знаменателю:
[
\frac{1}{144} + \frac{1}{2(v_1 + 10)} = \frac{1}{144} + \frac{1}{2(v_1 + 10)}
]
Общий знаменатель: [
144 \times 2(v_1 + 10) = 288(v_1 + 10)
]
Перепишем сумму:
[
\frac{2(v_1 + 10)}{288(v_1 + 10)} + \frac{144}{288(v_1 + 10)} = \frac{2(v_1 + 10) + 144}{288(v_1 + 10)}
]
Итак, уравнение преобразуется в:
[
\frac{1}{v_1} = \frac{2(v_1 + 10) + 144}{288(v_1 + 10)}
]
Шаг 6. Решим уравнение
Запишем:
[
\frac{1}{v_1} = \frac{2v_1 + 20 + 144}{288(v_1 + 10)} = \frac{2v_1 + 164}{288(v_1 + 10)}
]
Перемножим обе части на (v_1 \times 288(v_1 + 10)):
[
288(v_1 + 10) = v_1 (2v_1 + 164)
]
Раскроем скобки слева:
[
288 v_1 + 288 \times 10 = 2 v_1^2 + 164 v_1
]
[
288 v_1 + 2880 = 2 v_1^2 + 164 v_1
]
Перенесем все в одну сторону:
[
2 v_1^2 + 164 v_1 - 288 v_1 - 2880 = 0
]
[
2 v_1^2 - 124 v_1 - 2880 = 0
]
Разделим уравнение на 2:
[
v_1^2 - 62 v_1 - 1440 = 0
]
Шаг 7. Решим квадратичное уравнение
Используем формулу:
[
v_1 = \frac{62 \pm \sqrt{(-62)^2 - 4 \times 1 \times (-1440)}}{2}
]
[
v_1 = \frac{62 \pm \sqrt{3844 + 5760}}{2}
]
[
v_1 = \frac{62 \pm \sqrt{9604}}{2}
]
Вычислим корень:
[
\sqrt{9604} = 98
]
Тогда:
[
v_1 = \frac{62 \pm 98}{2}
]
Два возможных решения:
- (\displaystyle v_1 = \frac{62 + 98}{2} = \frac{160}{2} = 80)
- (\displaystyle v_1 = \frac{62 - 98}{2} = \frac{-36}{2} = -18)
Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем первый вариант:
[
\boxed{v_1 = 80 \text{ км/ч}}
]
Итог:
Скорость первого автомобиля — 80 км/ч.
