Основанием прямой призмы АВСДА1В1С1Д1 является параллелограмм АВСД со сторонами 4 см. и 4 корня из 3 см. и углом, равным 30. Диагональ АС1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60°. Найти площадь боковой поверхности призмы

Рассмотрим задачу шаг за шагом и пошагово разберем, как найти площадь боковой поверхности призмы. --- ### 1. Построение и обозначения Дано: - Основание — параллелограмм \( ABCD \) со сторонами: - \( AB = 4 \, \text{см} \) - \( AD = 4 \sqrt{3} \, \text{см} \) - Угол между сторонами \( AB \) и \( AD \) равен \(30^\circ\). - Высота призмы — расстояние между плоскостями оснований. - Диагональ \( A C_1 \) призмы образует с плоскостью основания угол \(60^\circ\). Задача: - Найти площадь боковой поверхности призмы. --- ### 2. Подготовительные вычисления **Шаг 1:** Найти площадь основания — параллелограмма \( ABCD \). Площадь параллелограмма \( S_{осн} = AB \times AD \times \sin \angle BAD \). \[ S_{осн} = 4 \times 4\sqrt{3} \times \sin 30^\circ \] \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), \[ S_{осн} = 4 \times 4\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = 4 \times 2\sqrt{3} = 8 \sqrt{3} \text{ см}^2. \] **Шаг 2:** Построение координат для более удобных расчетов. Обозначим точку \( A \) в начале координат: \[ A(0, 0, 0). \] Разместим сторону \( AB \) вдоль оси \( x \): \[ B(4, 0, 0), \] так как \( AB=4 \). Точку \( D \) расположим, исходя из длины \( AD \): \[ D \text{ находится так, что } AD=4\sqrt{3}. \] И также учитываем угол \( 30^\circ \) с стороной \( AB \). Поскольку \( AB \) направлена по \( x \)-оси, то: - \(\angle BAD = 30^\circ\), - сторона \( AD \) образует угол с \( AB \), поэтому в проекции на горизонтальную плоскость (плоскость \( x, y \)) \[ D_x = AD \cos 30^\circ = 4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \times \frac{3}{2} = 6. \] Для другой координаты \( y \): \[ D_y = AD \sin 30^\circ = 4 \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}. \] Тогда получается, что \[ D(6, 2\sqrt{3}, 0). \] --- ### 3. Высота \( h \) призмы **Шаг 3:** Найти высоту \( h \). Нам дана диагональ \( A C_1 \), причем угол между этой диагональю и плоскостью основания равен \(60^\circ\). Обозначим вершины призмы: - \( C_1 \): вершина верхнего основания, расположенная на высоте \( h \) над \( C \), - Аналогично, \( D_1 \) — вершина верхнего основания, \( B_1 \) — вершина верхнего основания. Обозначим координаты: \[ C (4, 4 \sqrt{3}, 0), \] так как сторона \( BC \), расположена по горизонтали. Значит: Обозначим точку \( C_1 \) — вершину верхнего основания: \[ C_1 (4, 4 \sqrt{3}, h), \] где \( h \) — высота призмы. Теперь рассматриваем диагональ \( A C_1 \): точки \[ A(0, 0, 0). \] \[ C_1(4, 4\sqrt{3}, h). \] --- ### 4. Угол между диагональю и плоскостью основания **Шаг 4:** Вычислим угол между \( A C_1 \) и плоскостью основания. Вектор \( \overrightarrow{A C_1} = (4, 4\sqrt{3}, h) \). Плоскость основания — находится в координатах \( z=0 \), и её нормаль — это вектор \( (0,0,1) \). **Угол между вектором \( \overrightarrow{A C_1} \)** и плоскостью равен \( 60^\circ \): \[ \cos 60^\circ = \frac{ (\overrightarrow{A C_1} \cdot \vec{n}) }{ |\overrightarrow{A C_1}| \times |\vec{n}| }, \] где \( \vec{n} = (0, 0, 1) \). Произведение скалярное: \[ \overrightarrow{A C_1} \cdot \vec{n} = h, \] а длина: \[ |\overrightarrow{A C_1}| = \sqrt{4^2 + (4 \sqrt{3})^2 + h^2} = \sqrt{16 + 16 \times 3 + h^2} = \sqrt{16 + 48 + h^2} = \sqrt{64 + h^2}. \] (Поскольку \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), то: \[ \frac{1}{2} = \frac{h}{\sqrt{64 + h^2}}. \] Отсюда: \[ 2h = \sqrt{64 + h^2}. \] Возведем обе части в квадрат — получим: \[ 4h^2 = 64 + h^2 \Rightarrow 4h^2 - h^2 = 64 \Rightarrow 3h^2 = 64, \] следовательно, \[ h^2 = \frac{64}{3} \Rightarrow h = \frac{8}{\sqrt{3}}. \] --- ### 5. Получение высоты и построение 3D объекта Высота призмы: \[ h = \frac{8}{\sqrt{3}}. \] Точки верхнего основания: \[ A_1(0, 0, h), \] \[ B_1(4, 0, h), \] \[ C_1(4, 4\sqrt{3}, h), \] \[ D_1(6, 2 \sqrt{3}, h). \] --- ### 6. Площадь боковой поверхности Боковая поверхность состоит из **четырех прямоугольных боковых граней**, соединяющих соответствующие вершины нижнего и верхнего оснований. Площадь боковых граней — сумма площадей прямоугольников: - \(ABA_1B_1\), - \(BCC_1D_1\), - \(C D A_1 C_1\), - \(D A D_1 D_1\). Для их определения нужно знать длины сторон и высоту, которые в данном случае — одинаковы для соответствующих граней: \[ \text{Площадь боковой поверхности} = \text{периметр основания} \times h, \] где периметр основания \( ABCD \). **Периметр основания:** \[ P = AB + BC + CD + DA. \] Рассчитаем стороны: - \( AB = 4 \), - \( BC = \text{по положению } C \text{ равно } 4 \sqrt{3} \), - \( CD \), найдем по координатам точек \( C(4, 4\sqrt{3}) \), \( D(6, 2\sqrt{3}) \): \[ CD = \sqrt{(6-4)^2 + (2\sqrt{3} - 4\sqrt{3})^2} = \sqrt{2^2 + (-2 \sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \times 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4. \] - \( DA \): \[ DA = \sqrt{(6-0)^2 + (2 \sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{36 + 4 \times 3} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}. \] Итог: \[ P = 4 + 4 \sqrt{3} + 4 + 4 \sqrt{3} = (4 + 4) + (4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}) = 8 + 8 \sqrt{3}. \] --- ### 7. Итоговая площадь боковой поверхности Используем формулу: \[ S_{бок} = P \times h = (8 + 8 \sqrt{3}) \times \frac{8}{\sqrt{3}}. \] Вынесем за скобки \(8\): \[ S_{бок} = 8 \times \left(1 + \sqrt{3}\right) \times \frac{8}{\sqrt{3}} = 64 \times \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}. \] Разделим числитель: \[ \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} + 1, \] так как: \[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1, \] и для второй части остается: \[ \frac{1}{\sqrt{3}} + 1. \] Таким образом, \[ S_{бок} = 64 \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}} + 1\right). \] Запишем в более удобной форме: \[ S_{бок} = 64 \times \left(\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right). \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Площадь боковой поверхности} = \frac{64 (1 + \sqrt{3})}{\sqrt{3}} \text{ см}^2. } \] или, рационализируя знаменатель: \[ S_{бок} = \frac{64 (1 + \sqrt{3}) \sqrt{3}}{3} = \frac{64 \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{3}. \] --- Если потребуется, можно оставить в последней форме. **Готово!**