Основанием прямой призмы АВСДА1В1С1Д1 является параллелограмм АВСД со сторонами 4 см. и 4 корня из 3 см. и углом, равным 30. Диагональ АС1 призмы образует с плоскостью основания…

Рассмотрим задачу шаг за шагом и пошагово разберем, как найти площадь боковой поверхности призмы.

---

1. Построение и обозначения

Дано:

• Основание — параллелограмм \( ABCD \) со сторонами:
  • \( AB = 4 \, \text{см} \)
  • \( AD = 4 \sqrt{3} \, \text{см} \)
• Угол между сторонами \( AB \) и \( AD \) равен \(30^\circ\).
• Высота призмы — расстояние между плоскостями оснований.
• Диагональ \( A C_1 \) призмы образует с плоскостью основания угол \(60^\circ\).

Задача:

• Найти площадь боковой поверхности призмы.

---

2. Подготовительные вычисления

Шаг 1: Найти площадь основания — параллелограмма \( ABCD \).

Площадь параллелограмма \( S_{осн} = AB \times AD \times \sin \angle BAD \).

\[ S_{осн} = 4 \times 4\sqrt{3} \times \sin 30^\circ \]

\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\),

\[ S_{осн} = 4 \times 4\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = 4 \times 2\sqrt{3} = 8 \sqrt{3} \text{ см}^2. \]

Шаг 2: Построение координат для более удобных расчетов.

Обозначим точку \( A \) в начале координат:

\[ A(0, 0, 0). \]

Разместим сторону \( AB \) вдоль оси \( x \):

\[ B(4, 0, 0), \] так как \( AB=4 \).

Точку \( D \) расположим, исходя из длины \( AD \):

\[ D \text{ находится так, что } AD=4\sqrt{3}. \] И также учитываем угол \( 30^\circ \) с стороной \( AB \). Поскольку \( AB \) направлена по \( x \)-оси, то:

• \(\angle BAD = 30^\circ\),
• сторона \( AD \) образует угол с \( AB \), поэтому в проекции на горизонтальную плоскость (плоскость \( x, y \))

\[ D_x = AD \cos 30^\circ = 4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \times \frac{3}{2} = 6. \]

Для другой координаты \( y \):

\[ D_y = AD \sin 30^\circ = 4 \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}. \]

Тогда получается, что

\[ D(6, 2\sqrt{3}, 0). \]

---

3. Высота \( h \) призмы

Шаг 3: Найти высоту \( h \).

Нам дана диагональ \( A C_1 \), причем угол между этой диагональю и плоскостью основания равен \(60^\circ\).

Обозначим вершины призмы:

• \( C_1 \): вершина верхнего основания, расположенная на высоте \( h \) над \( C \),

• Аналогично, \( D_1 \) — вершина верхнего основания, \( B_1 \) — вершина верхнего основания.

Обозначим координаты:

\[ C (4, 4 \sqrt{3}, 0), \] так как сторона \( BC \), расположена по горизонтали. Значит:

Обозначим точку \( C_1 \) — вершину верхнего основания:

\[ C_1 (4, 4 \sqrt{3}, h), \] где \( h \) — высота призмы.

Теперь рассматриваем диагональ \( A C_1 \): точки

\[ A(0, 0, 0). \] \[ C_1(4, 4\sqrt{3}, h). \]

---

4. Угол между диагональю и плоскостью основания

Шаг 4: Вычислим угол между \( A C_1 \) и плоскостью основания.

Вектор \( \overrightarrow{A C_1} = (4, 4\sqrt{3}, h) \).

Плоскость основания — находится в координатах \( z=0 \), и её нормаль — это вектор \( (0,0,1) \).

Угол между вектором \( \overrightarrow{A C_1} \) и плоскостью равен \( 60^\circ \):

\[ \cos 60^\circ = \frac{ (\overrightarrow{A C_1} \cdot \vec{n}) }{ |\overrightarrow{A C_1}| \times |\vec{n}| }, \]

где \( \vec{n} = (0, 0, 1) \).

Произведение скалярное:

\[ \overrightarrow{A C_1} \cdot \vec{n} = h, \]

а длина:

\[ |\overrightarrow{A C_1}| = \sqrt{4^2 + (4 \sqrt{3})^2 + h^2} = \sqrt{16 + 16 \times 3 + h^2} = \sqrt{16 + 48 + h^2} = \sqrt{64 + h^2}. \]

(Поскольку \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), то:

\[ \frac{1}{2} = \frac{h}{\sqrt{64 + h^2}}. \]

Отсюда:

\[ 2h = \sqrt{64 + h^2}. \]

Возведем обе части в квадрат — получим:

\[ 4h^2 = 64 + h^2 \Rightarrow 4h^2 - h^2 = 64 \Rightarrow 3h^2 = 64, \]

следовательно,

\[ h^2 = \frac{64}{3} \Rightarrow h = \frac{8}{\sqrt{3}}. \]

---

5. Получение высоты и построение 3D объекта

Высота призмы:

\[ h = \frac{8}{\sqrt{3}}. \]

Точки верхнего основания:

\[ A_1(0, 0, h), \] \[ B_1(4, 0, h), \] \[ C_1(4, 4\sqrt{3}, h), \] \[ D_1(6, 2 \sqrt{3}, h). \]

---

6. Площадь боковой поверхности

Боковая поверхность состоит из четырех прямоугольных боковых граней, соединяющих соответствующие вершины нижнего и верхнего оснований.

Площадь боковых граней — сумма площадей прямоугольников:

• \(ABA_1B_1\),
• \(BCC_1D_1\),
• \(C D A_1 C_1\),
• \(D A D_1 D_1\).

Для их определения нужно знать длины сторон и высоту, которые в данном случае — одинаковы для соответствующих граней:

\[ \text{Площадь боковой поверхности} = \text{периметр основания} \times h, \] где периметр основания \( ABCD \).

Периметр основания:

\[ P = AB + BC + CD + DA. \]

Рассчитаем стороны:

• \( AB = 4 \),
• \( BC = \text{по положению } C \text{ равно } 4 \sqrt{3} \),
• \( CD \), найдем по координатам точек \( C(4, 4\sqrt{3}) \), \( D(6, 2\sqrt{3}) \):

\[ CD = \sqrt{(6-4)^2 + (2\sqrt{3} - 4\sqrt{3})^2} = \sqrt{2^2 + (-2 \sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \times 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4. \]

• \( DA \):

\[ DA = \sqrt{(6-0)^2 + (2 \sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{36 + 4 \times 3} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}. \]

Итог:

\[ P = 4 + 4 \sqrt{3} + 4 + 4 \sqrt{3} = (4 + 4) + (4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}) = 8 + 8 \sqrt{3}. \]

---

7. Итоговая площадь боковой поверхности

Используем формулу:

\[ S_{бок} = P \times h = (8 + 8 \sqrt{3}) \times \frac{8}{\sqrt{3}}. \]

Вынесем за скобки \(8\):

\[ S_{бок} = 8 \times \left(1 + \sqrt{3}\right) \times \frac{8}{\sqrt{3}} = 64 \times \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}. \]

Разделим числитель:

\[ \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} + 1, \]

так как:

\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1, \]

и для второй части остается:

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} + 1. \]

Таким образом,

\[ S_{бок} = 64 \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}} + 1\right). \]

Запишем в более удобной форме:

\[ S_{бок} = 64 \times \left(\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right). \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Площадь боковой поверхности} = \frac{64 (1 + \sqrt{3})}{\sqrt{3}} \text{ см}^2. } \]

или, рационализируя знаменатель:

\[ S_{бок} = \frac{64 (1 + \sqrt{3}) \sqrt{3}}{3} = \frac{64 \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{3}. \]

---

Если потребуется, можно оставить в последней форме.

Готово!