Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц, содержат 0,1 фотон на импульс; потери в канале 0,3 дБ/км; эффективность детекторов – 10%. Найдите максимальное расстояние (в км) квантового распределения ключа по протоколу B84 для шифрования голоса. Пренебрегите темновым счетом детекторов и возможными атаками Евы с разделением числа фотонов.

Давайте подробно разберём задачу по шагам. --- ### Входные данные: - **Скорость генерации ключа:** 5 кбит/с = 5000 бит/с - **Частота лазерных импульсов:** 1 Гц = 1 импульс в секунду - **Фотон на импульс:** 0,1 фотона/импульс - **Потеря в канале:** 0,3 дБ/км - **Эффективность детекторов:** 10% (0,1) - **Протокол:** B84 (озе работы с квантовым ключом, предполагает дискретное распределение состояний) Задача — найти максимальное расстояние в километрах (длина канала), при котором возможно ещё обеспечить скорость обмена ключами не ниже 5000 бит/с. --- ### Шаг 1. Расчёт количества фотонов, прибывающих на приёмник - **Количество фотонов, посланных за один импульс:** 0,1 фотона. - Время между импульсами — 1 секунда, значит за 1 секунду общее число отправленных фотонов (распределённых по импульсам) будем считать по импульсам тот же, т.к. импульсы идут с одной в секунду. → За 1 секунду: Количество фотонов = 0,1 фотона/импульс * 1 импульс/сек = 0,1 фотона/сек. --- ### Шаг 2. Учитываем потери по каналу - Потеря в каналe: 0,3 дБ/км. Переведём потерю из дБ в обычное отношение: \[ L_{loss} = 10^{(loss_{dB}/10)} \] Для одного километра: \[ L_{1km} = 10^{0,3/10} \approx 10^{0,03} \approx 1,07 \] Это означает, что при прохождении 1 км мощность уменьшается примерно на 7%. Общая потеря потерь на расстоянии \(d\) км: \[ \eta_{loss}(d) = 10^{(0,3 \times d)/10} = (10^{0,03})^{d} \approx 1,07^{d} \] --- ### Шаг 3. Учитываем эффективность детекторов - Совместная эффективность: \[ \eta_{total} = \eta_{loss}(d) \times \eta_{det} = 1,07^{d} \times 0,1 \] Это — доля фотонов, которые достигнут детектора и будут зарегистрированы. --- ### Шаг 4. Определение количества зарегистрированных фотонов - Ежесекундно посылается 0,1 фотона/сек. - Количество зарегистрированных фотонов за секунду: \[ N_{det}(d) = 0,1 \times \eta_{total}(d) = 0,1 \times 1,07^{d} \times 0,1 = 0,01 \times 1,07^{d} \] --- ### Шаг 5. Обеспечить скорость ключа 5 кбит/с (5000 бит/с) Для квантового распределения ключа Shannon использует минимальную степень обмена информацией, которая зависит от вероятности успешного обнаружения фотона, чтобы обеспечить нужную скорость. - В протоколе B84 (или похожих), для получения 1 бита нужно примерно одна зарегистрированная фотонная событие (предположение, так как точная оценка зависит от протокола, но для порядка — так). - Значит, нам нужно иметь как минимум 5000 зарегистрированных фотонов в секунду: \[ N_{det}(d) \geq 5000 \] Подставляем: \[ 0,01 \times 1,07^{d} \geq 5000 \] --- ### Шаг 6. Решение неравенства \[ 1,07^{d} \geq \frac{5000}{0,01} = 500000 \] Взять логарифм обеих частей (используем натуральные или десятичные — удобнее десятичные, так как основание 10): \[ \log_{10} (1,07^{d}) \geq \log_{10} (500000) \] \[ d \times \log_{10} (1,07) \geq \log_{10} (500000) \] Значения логарифмов: \[ \log_{10} (1,07) \approx 0,0294 \] \[ \log_{10} (500000) \approx \log_{10} (5 \times 10^{5}) = \log_{10} 5 + 5 \approx 0,699 + 5 = 5,699 \] Теперь решаем: \[ d \times 0,0294 \geq 5,699 \] \[ d \geq \frac{5,699}{0,0294} \approx 193,57 \] ### Итог: **Максимальное расстояние:** \[ \boxed{ d \approx 194\, \text{км} } \] --- ### **Ответ:** Максимальное расстояние — примерно **194 километра**. --- Если есть дополнительные уточнения, я готов помочь дальше!