Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц, содержат…
Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц, содержат 0,1 фотон на импульс; потери в канале 0,3 дБ/км; эффективность детекторов – 10%. Найдите максимальное расстояние (в км) квантового распределения ключа по протоколу B84 для шифрования голоса. Пренебрегите темновым счетом детекторов и возможными атаками Евы с разделением числа фотонов.
Давайте подробно разберём задачу по шагам.
Входные данные:
- Скорость генерации ключа: 5 кбит/с = 5000 бит/с
- Частота лазерных импульсов: 1 Гц = 1 импульс в секунду
- Фотон на импульс: 0,1 фотона/импульс
- Потеря в канале: 0,3 дБ/км
- Эффективность детекторов: 10% (0,1)
- Протокол: B84 (озе работы с квантовым ключом, предполагает дискретное распределение состояний)
Задача — найти максимальное расстояние в километрах (длина канала), при котором возможно ещё обеспечить скорость обмена ключами не ниже 5000 бит/с.
Шаг 1. Расчёт количества фотонов, прибывающих на приёмник
- Количество фотонов, посланных за один импульс: 0,1 фотона.
- Время между импульсами — 1 секунда, значит за 1 секунду общее число отправленных фотонов (распределённых по импульсам) будем считать по импульсам тот же, т.к. импульсы идут с одной в секунду.
→ За 1 секунду:
Количество фотонов = 0,1 фотона/импульс * 1 импульс/сек = 0,1 фотона/сек.
Шаг 2. Учитываем потери по каналу
- Потеря в каналe: 0,3 дБ/км.
Переведём потерю из дБ в обычное отношение:
\[ L_{loss} = 10^{(loss_{dB}/10)} \]
Для одного километра:
\[ L_{1km} = 10^{0,3/10} \approx 10^{0,03} \approx 1,07 \]
Это означает, что при прохождении 1 км мощность уменьшается примерно на 7%.
Общая потеря потерь на расстоянии \(d\) км:
\[ \eta_{loss}(d) = 10^{(0,3 \times d)/10} = (10^{0,03})^{d} \approx 1,07^{d} \]
Шаг 3. Учитываем эффективность детекторов
- Совместная эффективность:
\[ \eta_{total} = \eta_{loss}(d) \times \eta_{det} = 1,07^{d} \times 0,1 \]
Это — доля фотонов, которые достигнут детектора и будут зарегистрированы.
Шаг 4. Определение количества зарегистрированных фотонов
Ежесекундно посылается 0,1 фотона/сек.
Количество зарегистрированных фотонов за секунду:
\[ N_{det}(d) = 0,1 \times \eta_{total}(d) = 0,1 \times 1,07^{d} \times 0,1 = 0,01 \times 1,07^{d} \]
Шаг 5. Обеспечить скорость ключа 5 кбит/с (5000 бит/с)
Для квантового распределения ключа Shannon использует минимальную степень обмена информацией, которая зависит от вероятности успешного обнаружения фотона, чтобы обеспечить нужную скорость.
В протоколе B84 (или похожих), для получения 1 бита нужно примерно одна зарегистрированная фотонная событие (предположение, так как точная оценка зависит от протокола, но для порядка — так).
Значит, нам нужно иметь как минимум 5000 зарегистрированных фотонов в секунду:
\[ N_{det}(d) \geq 5000 \]
Подставляем:
\[ 0,01 \times 1,07^{d} \geq 5000 \]
Шаг 6. Решение неравенства
\[ 1,07^{d} \geq \frac{5000}{0,01} = 500000 \]
Взять логарифм обеих частей (используем натуральные или десятичные — удобнее десятичные, так как основание 10):
\[ \log_{10} (1,07^{d}) \geq \log_{10} (500000) \]
\[ d \times \log_{10} (1,07) \geq \log_{10} (500000) \]
Значения логарифмов:
\[ \log_{10} (1,07) \approx 0,0294 \]
\[ \log_{10} (500000) \approx \log_{10} (5 \times 10^{5}) = \log_{10} 5 + 5 \approx 0,699 + 5 = 5,699 \]
Теперь решаем:
\[ d \times 0,0294 \geq 5,699 \]
\[ d \geq \frac{5,699}{0,0294} \approx 193,57 \]
Итог:
Максимальное расстояние:
\[ \boxed{ d \approx 194\, \text{км} } \]
Ответ:
Максимальное расстояние — примерно 194 километра.
Если есть дополнительные уточнения, я готов помочь дальше!
