(а+б)(а²+б²)(а⁴+б⁴)(а⁸+б⁸)(а¹⁶+б¹⁶)(а³²+б³²) б=а-1

Привет! Посмотрим на задачу:

Тебе нужно доказать, что выражение \((а + б)(а² + б²)(а⁴ + б⁴)(а⁸ + б⁸)(а¹⁶ + б¹⁶)(а³² + б³²)\) равно \(а⁶⁴ - б⁶⁴\), если \(б = а - 1\).

Начнем с того, что выражение \((а + б)(а² + б²)(а⁴ + б⁴)\ldots\) напоминает разложение разности степеней по формуле \((x^n - y^n) = (x - y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + \ldots + xy^{n-2} + y^{n-1})\).

Чтобы использовать это сходство, подставим \(б = а - 1\) в выражение и придется работать с множителями по очереди.

Давай обозначим \(а - 1\) как \(б\) и раскроем скобки по указанной выше формуле. Это должно показать нам, что произведение дает \(а⁶⁴ - б⁶⁴\).

Первая скобка:

\(а + б\)

Подставим \(б = а - 1\):

\(а + а - 1 = 2а - 1\)

Остальные скобки будут иметь вид:

\(а^n + (а - 1)^n\).

При \(n = 2, 4, 8, 16, 32\) мы будем разворачивать выражения в порядке возрастания степеней и, заменяя \(б\) на \(а - 1\), сокращать одинаковые члены.

В конце мы получим:

((2а - 1)(какие-то выражения)