5у+1/у+1=у+2/у
Рассмотрим задачу:
\[ \frac{5у + 1}{у + 1} = \fracу + \frac{2}{у} \]
Цель — понять и решить уравнение.
Шаг 1: Запись уравнения
Имеем:
\[ \frac{5у + 1}{у + 1} = у + \frac{2}{у} \]
Шаг 2: Приведение к общему знаменателю
Чтобы упростить левую часть, можем проверить, что она уже имеет выражение в виде дроби. Правую сторону — сумму двух дробей — лучше записать в виде одной дроби.
Поскольку \(у\) — это переменная, сделаем так:
\[ у + \frac{2}{у} = \frac{у \cdot у + 2}{у} = \frac{у^2 + 2}{у} \]
Теперь уравнение:
\[ \frac{5у + 1}{у + 1} = \frac{у^2 + 2}{у} \]
Шаг 3: Перемножение крест-накрест
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на произведение знаменателей: \((у + 1) \cdot у\).
Тогда получим:
\[ (5у + 1) \cdot у = (у^2 + 2) \cdot (у + 1) \]
Шаг 4: Раскрытие скобок
Раскроем левую сторону:
\[ (5у + 1) \cdot у = 5у \cdot у + 1 \cdot у = 5у^2 + у \]
Правую сторону:
\[ (у^2 + 2)(у + 1) = у^2 \cdot у + у^2 \cdot 1 + 2 \cdot у + 2 \cdot 1 = у^3 + у^2 + 2у + 2 \]
Шаг 5: Запись уравнения
Теперь у нас:
\[ 5у^2 + у = у^3 + у^2 + 2у + 2 \]
Перенесём все в левую сторону:
\[ 5у^2 + у - у^3 - у^2 - 2у - 2 = 0 \]
Объединяем подобные слагаемые:
\[ -у^3 + (5у^2 - у^2) + (у - 2у) - 2 = 0 \] \[ -у^3 + 4у^2 - у - 2 = 0 \]
Чтобы удобнее работать, умножим обе части уравнения на \(-1\):
\[ у^3 - 4у^2 + у + 2 = 0 \]
Шаг 6: Нахождение корней уравнения
Итак, у нас кубическое уравнение:
\[ у^3 - 4у^2 + у + 2 = 0 \]
Попробуем найти его корни с помощью метода рациональных корней (по теореме Виета, возможные рациональные корни — делители свободного члена 2: \(\pm1, \pm2\)).
Проверим \(у=1\):
\[ (1)^3 - 4(1)^2 + 1 + 2 = 1 - 4 + 1 + 2 = 0 \]
Да, \(у=1\) — корень!
Шаг 7: Деление многочлена на \у - 1
Чтобы найти остальные корни, разделим кубический многочлен на \у - 1:
\[ у^3 - 4у^2 + у + 2 : у - 1 \]
Используем длинное деление или схему Горнера.
Деление:
- Первый коэффициент: 1
- 1 × (у - 1): 1у - 1
- Вычитаем: (у^3 - 4у^2 + у + 2) - (у^3 - у) = 0 у^3, остальное:
Остаток после первых двух шагов:
\[ (-4у^2) - 0у^2 = -4у^2 \] плюс оставшиеся члены: + у + 2
Следующий шаг: делим \(-4у^2\) на у: получаем \(-4у\)
Умножаем \(-4у\) на \у - 1: \(-4у^2 + 4у\)
Вычитаем: (предыдущий остаток) - \((-4у^2 + 4у)\) = 0у^2 + у - 4у = у - 4у = -3у
Следующий шаг: делим \(-3у\) на у: получаем \(-3\)
Умножаем \(-3\) на у - 1: \(-3у + 3\)
Вычитаем: \(-3у + 2 - (-3у + 3) = 0у - 1 = -1\)
Общий остаток: \(-1\)
Это значит, что деление не делится без остатка; не полностью делится. Однако, поскольку при делении мы получили "корень" у = 1, и результат деления — квадратный многочлен.
Перепроверим деление:
Шаг 8: Альтернативное деление (Горнер)
Используем схему Горнера для деления многочлена по у - 1:
Коэффициенты: 1 | -4 | 1 | 2
- Первый: 1
- умножаем на 1: 1, добавляем к следующему: \(-4 + 1 = -3\)
- умножаем \(-3 \times 1 = -3\), добавляем к следующему: \(1 + (-3) = -2\)
- умножаем \(-2 \times 1 = -2\), добавляем к последнему: \(2 + (-2) = 0\)
Результат деления:
Класс многочлена: \(у^2 - 3у - 2\)
Остаток равен 0 — деление завершено без остатка.
Значит:
\[ у^3 - 4у^2 + у + 2 = (у - 1)(у^2 - 3у - 2) \]
Шаг 9: Решение квадратичного уравнения
Решим:
\[ у^2 - 3у - 2 = 0 \]
Дискриминант:
\[ D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 9 + 8 = 17 \]
Корни:
\[ у = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} \]
Итог: все корни уравнения
\[ у = 1, \quad у = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \quad у = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \]
Проверка:
Проверьте каждое решение в исходном уравнении, чтобы исключить значения, которые делают знаменатели равными нулю.
- Знаменатели: \(у + 1\) и \(у\)
- Ни при каком из решений не получается \(у = 0\) или \(у = -1\), так что все корни допустимы.
Итоговое решение:
Ответ:
\[ \boxed{ у = 1,\quad у = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \quad у = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} } \]
Если нужно более подробное объяснение или проверка, я готов помочь!
