5у+1/у+1=у+2/у

Рассмотрим задачу: \[ \frac{5у + 1}{у + 1} = \fracу + \frac{2}{у} \] Цель — понять и решить уравнение. --- ### Шаг 1: Запись уравнения Имеем: \[ \frac{5у + 1}{у + 1} = у + \frac{2}{у} \] --- ### Шаг 2: Приведение к общему знаменателю Чтобы упростить левую часть, можем проверить, что она уже имеет выражение в виде дроби. Правую сторону — сумму двух дробей — лучше записать в виде одной дроби. Поскольку \(у\) — это переменная, сделаем так: \[ у + \frac{2}{у} = \frac{у \cdot у + 2}{у} = \frac{у^2 + 2}{у} \] Теперь уравнение: \[ \frac{5у + 1}{у + 1} = \frac{у^2 + 2}{у} \] --- ### Шаг 3: Перемножение крест-накрест Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на произведение знаменателей: \((у + 1) \cdot у\). Тогда получим: \[ (5у + 1) \cdot у = (у^2 + 2) \cdot (у + 1) \] --- ### Шаг 4: Раскрытие скобок Раскроем левую сторону: \[ (5у + 1) \cdot у = 5у \cdot у + 1 \cdot у = 5у^2 + у \] Правую сторону: \[ (у^2 + 2)(у + 1) = у^2 \cdot у + у^2 \cdot 1 + 2 \cdot у + 2 \cdot 1 = у^3 + у^2 + 2у + 2 \] --- ### Шаг 5: Запись уравнения Теперь у нас: \[ 5у^2 + у = у^3 + у^2 + 2у + 2 \] Перенесём все в левую сторону: \[ 5у^2 + у - у^3 - у^2 - 2у - 2 = 0 \] Объединяем подобные слагаемые: \[ -у^3 + (5у^2 - у^2) + (у - 2у) - 2 = 0 \] \[ -у^3 + 4у^2 - у - 2 = 0 \] Чтобы удобнее работать, умножим обе части уравнения на \(-1\): \[ у^3 - 4у^2 + у + 2 = 0 \] --- ### Шаг 6: Нахождение корней уравнения Итак, у нас кубическое уравнение: \[ у^3 - 4у^2 + у + 2 = 0 \] Попробуем найти его корни с помощью метода рациональных корней (по теореме Виета, возможные рациональные корни — делители свободного члена 2: \(\pm1, \pm2\)). Проверим \(у=1\): \[ (1)^3 - 4(1)^2 + 1 + 2 = 1 - 4 + 1 + 2 = 0 \] Да, \(у=1\) — корень! --- ### Шаг 7: Деление многочлена на \у - 1 Чтобы найти остальные корни, разделим кубический многочлен на \у - 1: \[ у^3 - 4у^2 + у + 2 : у - 1 \] Используем длинное деление или схему Горнера. **Деление:** - Первый коэффициент: 1 - 1 × (у - 1): 1у - 1 - Вычитаем: (у^3 - 4у^2 + у + 2) - (у^3 - у) = 0 у^3, остальное: Остаток после первых двух шагов: \[ (-4у^2) - 0у^2 = -4у^2 \] плюс оставшиеся члены: + у + 2 Следующий шаг: делим \(-4у^2\) на у: получаем \(-4у\) Умножаем \(-4у\) на \у - 1: \(-4у^2 + 4у\) Вычитаем: (предыдущий остаток) - \((-4у^2 + 4у)\) = 0у^2 + у - 4у = у - 4у = -3у Следующий шаг: делим \(-3у\) на у: получаем \(-3\) Умножаем \(-3\) на у - 1: \(-3у + 3\) Вычитаем: \(-3у + 2 - (-3у + 3) = 0у - 1 = -1\) Общий остаток: \(-1\) Это значит, что деление не делится без остатка; не полностью делится. Однако, поскольку при делении мы получили "корень" у = 1, и результат деления — квадратный многочлен. Перепроверим деление: --- ### Шаг 8: Альтернативное деление (Горнер) Используем схему Горнера для деления многочлена по у - 1: Коэффициенты: 1 | -4 | 1 | 2 - Первый: 1 - умножаем на 1: 1, добавляем к следующему: \(-4 + 1 = -3\) - умножаем \(-3 \times 1 = -3\), добавляем к следующему: \(1 + (-3) = -2\) - умножаем \(-2 \times 1 = -2\), добавляем к последнему: \(2 + (-2) = 0\) Результат деления: Класс многочлена: \(у^2 - 3у - 2\) Остаток равен 0 — деление завершено без остатка. Значит: \[ у^3 - 4у^2 + у + 2 = (у - 1)(у^2 - 3у - 2) \] --- ### Шаг 9: Решение квадратичного уравнения Решим: \[ у^2 - 3у - 2 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 9 + 8 = 17 \] Корни: \[ у = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} \] --- ### Итог: все корни уравнения \[ у = 1, \quad у = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \quad у = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \] --- ### Проверка: Проверьте каждое решение в исходном уравнении, чтобы исключить значения, которые делают знаменатели равными нулю. - Знаменатели: \(у + 1\) и \(у\) - Ни при каком из решений не получается \(у = 0\) или \(у = -1\), так что все корни допустимы. --- ### Итоговое решение: **Ответ:** \[ \boxed{ у = 1,\quad у = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \quad у = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} } \] Если нужно более подробное объяснение или проверка, я готов помочь!