найдите производную функции y=2x+3/6x^2
Конечно! Рассмотрим задачу: найти производную функции
\[ y = \frac{2x + 3}{6x^2} \]
Я объясню подробно, как решить эту задачу.
Шаг 1: Запись функции
Функция дана в виде дроби:
\[ y = \frac{2x + 3}{6x^2} \]
Лучше сразу упростить выражение, чтобы было удобнее дифференцировать.
Шаг 2: Упрощение функции
Разделим числитель на знаменатель по свойствам дроби:
\[ y = \frac{2x}{6x^2} + \frac{3}{6x^2} \]
Теперь упростим каждую часть:
\[ \frac{2x}{6x^2} = \frac{2}{6} \cdot \frac{x}{x^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{3x} \]
и
\[ \frac{3}{6x^2} = \frac{1}{2x^2} \]
Следовательно, функция преобразуется в:
\[ y = \frac{1}{3x} + \frac{1}{2x^2} \]
Шаг 3: Дифференцирование
Теперь найдем производную каждого слагаемого по отдельности.
Запишем функцию:
\[ y = \frac{1}{3x} + \frac{1}{2x^2} \]
Обратим внимание, что члены можно представить в виде степеней:
\[ y = \frac{1}{3} \cdot x^{-1} + \frac{1}{2} \cdot x^{-2} \]
Далее, применим формулу дифференцирования степенной функции:
\[ \frac{d}{dx} x^{n} = n x^{n-1} \]
Шаг 4: Находим производную
- Первое слагаемое:
\[ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{3} x^{-1}\right) = \frac{1}{3} \cdot (-1) x^{-2} = -\frac{1}{3} x^{-2} = -\frac{1}{3x^2} \]
- Второе слагаемое:
\[ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2} x^{-2}\right) = \frac{1}{2} \cdot (-2) x^{-3} = -1 \cdot x^{-3} = -\frac{1}{x^3} \]
Итоговая производная:
\[ \boxed{ y' = -\frac{1}{3x^2} - \frac{1}{x^3} } \]
или, если оставить в виде дробей с одним знаменателем, можно записать так:
\[ y' = -\frac{1}{3x^2} - \frac{1}{x^3} \]
Если нужно, я могу помочь с дополнительными объяснениями или проверить ваш вариант.
