(а+б)(а²+б²)(а⁴+б⁴)(а⁸+б⁸)(а¹⁶+б¹⁶)(а³²+б³²) б=а-1

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом. Нам нужно доказать, что:

(a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶)(a³² + b³²) = a⁶⁴ - b⁶⁴, при условии, что b = a - 1.

Для этого мы можем воспользоваться формулой разности степеней:

aⁿ - bⁿ = (a - b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + aⁿ⁻³b² + ... + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹).

Теперь применим эту формулу к нашему случаю:

Мы видим, что формула очень похожа на произведение, указанное в условии задачи, только степени у нас возрастают вдвое с каждым множителем.

Начнем с конца и посмотрим, что у нас получается для a⁶⁴ и b⁶⁴:

a⁶⁴ - b⁶⁴ = (a - b)(a⁶³ + a⁶²b + a⁶¹b² + ... + ab⁶² + b⁶³).

Заметьте, что если b заменить на (a - 1), то каждый множитель в скобке будет представлять собой сумму степеней a с уменьшающимися показателями и возрастающими степенями (a - 1). Это дает нам возможность записать выражение для степеней a как сумму:

a⁶³ + a⁶²(a - 1) + a⁶¹(a - 1)² + ... + a(a - 1)⁶² + (a - 1)⁶³.