Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
Первый конденсатор:
- Радиус пластин: ( R )
- Расстояние между пластинами: ( d )
- Изолирующий материал: воздух (диэлектрическая проницаемость: ( \varepsilon_0 ))
Второй конденсатор:
- Радиус пластин: ( R/3 )
- Расстояние между пластинами: ( d )
- Изолирующий материал: неизвестный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью: ( \varepsilon )
Требуется найти:
Диэлектрическую проницаемость вещества во втором конденсаторе, если их емкости равны.
Шаг 1: Формула емкости плоских конденсаторов
Емкость плоского конденсатора со стороны пластины радиуса ( R ) и зазором ( d ), окружена диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ( \varepsilon ), задаётся формулой:
[
C = \varepsilon \frac{S}{d}
]
где:
- ( S ) — площадь одной пластины,
- ( d ) — зазор.
Площадь пластин (круглых):
[
S = \pi R^2
]
Шаг 2: Емкость первого конденсатора
Для воздуха (диэлектрическая проницаемость ( \varepsilon_0 )):
[
C_1 = \varepsilon_0 \frac{\pi R^2}{d}
]
Шаг 3: Емкость второго конденсатора
Радиус пластин: ( R/3 )
Площадь пластин:
[
S_2 = \pi \left( \frac{R}{3} \right)^2 = \pi \frac{R^2}{9}
]
Емкость второго конденсатора:
[
C_2 = \varepsilon \frac{S_2}{d} = \varepsilon \frac{\pi R^2 / 9}{d} = \varepsilon \frac{\pi R^2}{9 d}
]
Шаг 4: Равенство емкостей
Задача утверждает, что ( C_1 = C_2 ):
[
\varepsilon_0 \frac{\pi R^2}{d} = \varepsilon \frac{\pi R^2}{9 d}
]
Упростим обе стороны, сократив ( \pi R^2 / d ):
[
\varepsilon_0 = \frac{\varepsilon}{9}
]
Шаг 5: Находим ( \varepsilon )
Выразим ( \varepsilon ):
[
\varepsilon = 9 \varepsilon_0
]
Ответ:
Диэлектрическая проницаемость вещества равна:
[
\boxed{
\varepsilon = 9 \varepsilon_0
}
]
То есть диэлектрическая проницаемость этого вещества в 9 раз больше диэлектрической проницаемости воздуха.
