Имеется два плоских конденсатора, обкладками которого являются круглые пластины. Радиус обкладок первого конденсатора R, расстояние между ними d, а изолирующим материалом служит…
Имеется два плоских конденсатора, обкладками которого являются круглые пластины. Радиус обкладок первого конденсатора R, расстояние между ними d, а изолирующим материалом служит воздух. Второй конденсатор состоит из двух пластин радиусом R/3, зазор между которыми равен d, а в качестве изолирующего материала используется некоторое вещество. Чему равна диэлектрическая проницаемость данного вещества, если емкости описанных выше конденсаторов равны?
Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
Первый конденсатор:
- Радиус пластин: \( R \)
- Расстояние между пластинами: \( d \)
- Изолирующий материал: воздух (диэлектрическая проницаемость: \( \varepsilon_0 \))
Второй конденсатор:
- Радиус пластин: \( R/3 \)
- Расстояние между пластинами: \( d \)
- Изолирующий материал: неизвестный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью: \( \varepsilon \)
Требуется найти:
Диэлектрическую проницаемость вещества во втором конденсаторе, если их емкости равны.
Шаг 1: Формула емкости плоских конденсаторов
Емкость плоского конденсатора со стороны пластины радиуса \( R \) и зазором \( d \), окружена диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \( \varepsilon \), задаётся формулой:
\[ C = \varepsilon \frac{S}{d} \]
где:
- \( S \) — площадь одной пластины,
- \( d \) — зазор.
Площадь пластин (круглых):
\[ S = \pi R^2 \]
Шаг 2: Емкость первого конденсатора
Для воздуха (диэлектрическая проницаемость \( \varepsilon_0 \)):
\[ C_1 = \varepsilon_0 \frac{\pi R^2}{d} \]
Шаг 3: Емкость второго конденсатора
Радиус пластин: \( R/3 \)
Площадь пластин:
\[ S_2 = \pi \left( \frac{R}{3} \right)^2 = \pi \frac{R^2}{9} \]
Емкость второго конденсатора:
\[ C_2 = \varepsilon \frac{S_2}{d} = \varepsilon \frac{\pi R^2 / 9}{d} = \varepsilon \frac{\pi R^2}{9 d} \]
Шаг 4: Равенство емкостей
Задача утверждает, что \( C_1 = C_2 \):
\[ \varepsilon_0 \frac{\pi R^2}{d} = \varepsilon \frac{\pi R^2}{9 d} \]
Упростим обе стороны, сократив \( \pi R^2 / d \):
\[ \varepsilon_0 = \frac{\varepsilon}{9} \]
Шаг 5: Находим \( \varepsilon \)
Выразим \( \varepsilon \):
\[ \varepsilon = 9 \varepsilon_0 \]
Ответ:
Диэлектрическая проницаемость вещества равна:
\[ \boxed{ \varepsilon = 9 \varepsilon_0 } \]
То есть диэлектрическая проницаемость этого вещества в 9 раз больше диэлектрической проницаемости воздуха.
