реши

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности и найдем их решения.

Задача 34.8, а):
\[(2x + 1)(3x + 2) < 0\]

Шаг 1: Найдём нули каждого множителя:
\[2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\]
\[3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}\]

Шаг 2: Определим знак выражения \((2x + 1)(3x + 2)\) на разных интервалах, разбивая их по точкам нулей:

• \(-\infty \) до \(-\frac{2}{3}\)
• \(-\frac{2}{3}\) до \(-\frac{1}{2}\)
• \(-\frac{1}{2}\) до \ \(+\infty\)

Шаг 3: Определим знак каждого множителя в интервалах:

• Для \(x < -\frac{2}{3}\):
  \(2x+1 < 0\), так как при \(x \to -\infty\), это отрицательное;
  \(3x+2 < 0\), так как при \(x \to -\infty\), это тоже отрицательное;
  Итог: \(\text{участок} \to (\text{отрицательное} \times \text{отрицательное}) = +\)

• Для \(-\frac{2}{3} < x < -\frac{1}{2}\):
  \(2x+1 < 0\) (так как \(x < -\frac{1}{2}\)),
  \(3x+2 > 0\) (так как \(x > -\frac{2}{3}\)).
  Итог: \(\text{отрицательное} \times \text{положительное} = -\)

• Для \(x > -\frac{1}{2}\):
  оба множителя положительные, следовательно произведение > 0.

Шаг 4: Итог:
\((2x+1)(3x+2) < 0\) в интервале:
\(-\frac{2}{3} < x < -\frac{1}{2}\)

Ответ для 34.8, а):
\(\boxed{-\frac{2}{3} < x < -\frac{1}{2}}\)

Задача 34.8, б):
\[(3 - 4x)(2x - 5) \leq 0\]

Шаг 1: Найдём нули каждого множителя:
\[3 - 4x = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4}\]
\[2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}\]

Шаг 2: Определим знак выражения на интервалах, разбитых по точкам нулей:

• \(x < \frac{3}{4}\)
• \(\frac{3}{4} < x < \frac{5}{2}\)
• \(x > \frac{5}{2}\)

Шаг 3: Подставим тестовые значения во множеители:

• Для \(x < \frac{3}{4}\), например \(x=0\):
  \(3 - 4(0) = 3 > 0\),
  \(2(0) - 5 = -5 < 0\).
  Итог: \(+\times - = -\). Произведение \(\leq 0\), значит подходит.

• Для \(\frac{3}{4} < x < \frac{5}{2}\), например \(x=1\):
  \(3 - 4(1) = -1 < 0\),
  \(2(1) - 5 = -3 < 0\).
  Итог: \(- \times - = +\), не подходит (т.к. больше 0).

• Для \(x > \frac{5}{2}\), например \(x=3\):
  \(3 - 4(3) = 3 - 12 = -9 < 0\),
  \(2(3) - 5 = 6 - 5 = 1 > 0\).
  Итог: \(- \times + = -\), подходит.

Шаг 4: Включаем нули, поскольку неравенство \(\leq 0\):

• при \(x = \frac{3}{4}\): \(\text{произведение} = 0\) — включительно
• при \(x= \frac{5}{2}\): тоже ноль — включительно

Ответ:
\(x \in [\frac{3}{4}, \frac{5}{2}]\).

Итоговое решение:

• а) \(-\frac{2}{3} < x < -\frac{1}{2}\)
• б) \([\frac{3}{4}, \frac{5}{2}]\)