Реши

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности и найдем их решения. --- **Задача 34.8, а):** \[(2x + 1)(3x + 2) < 0\] **Шаг 1:** Найдём нули каждого множителя: \[2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\] \[3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}\] **Шаг 2:** Определим знак выражения \((2x + 1)(3x + 2)\) на разных интервалах, разбивая их по точкам нулей: - \(-\infty \) до \(-\frac{2}{3}\) - \(-\frac{2}{3}\) до \(-\frac{1}{2}\) - \(-\frac{1}{2}\) до \ \(+\infty\) **Шаг 3:** Определим знак каждого множителя в интервалах: - Для \(x < -\frac{2}{3}\): \(2x+1 < 0\), так как при \(x \to -\infty\), это отрицательное; \(3x+2 < 0\), так как при \(x \to -\infty\), это тоже отрицательное; Итог: \(\text{участок} \to (\text{отрицательное} \times \text{отрицательное}) = +\) - Для \(-\frac{2}{3} < x < -\frac{1}{2}\): \(2x+1 < 0\) (так как \(x < -\frac{1}{2}\)), \(3x+2 > 0\) (так как \(x > -\frac{2}{3}\)). Итог: \(\text{отрицательное} \times \text{положительное} = -\) - Для \(x > -\frac{1}{2}\): оба множителя положительные, следовательно произведение > 0. **Шаг 4:** Итог: \((2x+1)(3x+2) < 0\) в интервале: \(-\frac{2}{3} < x < -\frac{1}{2}\) --- **Ответ для 34.8, а):** \(\boxed{-\frac{2}{3} < x < -\frac{1}{2}}\) --- **Задача 34.8, б):** \[(3 - 4x)(2x - 5) \leq 0\] **Шаг 1:** Найдём нули каждого множителя: \[3 - 4x = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4}\] \[2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}\] **Шаг 2:** Определим знак выражения на интервалах, разбитых по точкам нулей: - \(x < \frac{3}{4}\) - \(\frac{3}{4} < x < \frac{5}{2}\) - \(x > \frac{5}{2}\) **Шаг 3:** Подставим тестовые значения во множеители: - Для \(x < \frac{3}{4}\), например \(x=0\): \(3 - 4(0) = 3 > 0\), \(2(0) - 5 = -5 < 0\). Итог: \(+\times - = -\). Произведение \(\leq 0\), значит подходит. - Для \(\frac{3}{4} < x < \frac{5}{2}\), например \(x=1\): \(3 - 4(1) = -1 < 0\), \(2(1) - 5 = -3 < 0\). Итог: \(- \times - = +\), не подходит (т.к. больше 0). - Для \(x > \frac{5}{2}\), например \(x=3\): \(3 - 4(3) = 3 - 12 = -9 < 0\), \(2(3) - 5 = 6 - 5 = 1 > 0\). Итог: \(- \times + = -\), подходит. **Шаг 4:** Включаем нули, поскольку неравенство \(\leq 0\): - при \(x = \frac{3}{4}\): \(\text{произведение} = 0\) — включительно - при \(x= \frac{5}{2}\): тоже ноль — включительно **Ответ:** \(x \in [\frac{3}{4}, \frac{5}{2}]\). --- **Итоговое решение:** - **а) \(-\frac{2}{3} < x < -\frac{1}{2}\)** - **б) \([\frac{3}{4}, \frac{5}{2}]\)**