.
Давайте разберём каждую задачу по порядку и подробно объясним решение.
Задача 1
Найдите значение выражения:
\[ \frac{(a-6)^2 + 4(a-6) + 4}{a-4} \quad \text{при} \quad a=0.18 \]
Шаг 1: упростить числитель.
Обозначим \( x = a - 6 \):
\[ x^2 + 4x + 4 \]
Этот выражение представляет собой квадрат так как:
\[ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \]
Шаг 2: подставим \( x = a - 6 \)
\[ (a - 6 + 2)^2 = (a - 4)^2 \]
Шаг 3: запишем всю дробь:
\[ \frac{(a-4)^2}{a-4} \]
Если \( a \neq 4 \):
\[ = a - 4 \]
Шаг 4: подставим \( a = 0.18 \):
\[ a - 4 = 0.18 - 4 = -3.82 \]
Ответ: -3.82
Задача 2
Найдите значение выражения:
\[ \frac{1-b}{6a+2b} \cdot \frac{9a^2 + 6ab + b^2}{4 - 4b} \quad \text{при} \quad a=2, \quad b=-2 \]
Шаг 1: подставим значения:
\[ a=2, \quad b=-2 \]
Шаг 2: найдём числитель первого дроби:
\[ 1 - b = 1 - (-2) = 3 \]
Шаг 3: найдём знаменатель первого дроби:
\[ 6a + 2b = 6 \times 2 + 2 \times (-2) = 12 - 4 = 8 \]
Шаг 4: числитель второй дроби.
Обратить внимание, что:
\[ 9a^2 + 6ab + b^2 \]
Это разложение квадратичной формулы:
\[ (3a + b)^2 \]
Проверим:
\[ (3 \times 2 + (-2))^2 = (6 - 2)^2 = 4^2 = 16 \]
Шаг 5: найдём знаменатель второй дроби:
\[ 4 - 4b = 4 - 4 \times (-2) = 4 + 8 = 12 \]
Шаг 6: считаем выражение:
\[ \frac{3}{8} \times \frac{16}{12} \]
\[ = \frac{3}{8} \times \frac{4}{3} \quad \text{(сокращение 16 и 12 через 4)} \]
\[ = \frac{3}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{3 \times 4}{8 \times 3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
Ответ: \(\frac{1}{2}\)
Задача 3
Найдите значение выражения:
\[ (9a^2 - \frac{1}{49b^2}) \div (3a - \frac{1}{7b}) \quad \text{при} \quad a = -\frac{1}{3}, \quad b= \frac{1}{14} \]
Шаг 1: подставим значения.
Обозначим шаги:
\[ a = -\frac{1}{3} \] \[ b = \frac{1}{14} \]
Шаг 2: найти числитель:
\[ 9a^2 - \frac{1}{49b^2} \]
Посчитаем каждый член:
\[ 9a^2 = 9 \times \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 9 \times \frac{1}{9} = 1 \]
\[ \frac{1}{49b^2} = \frac{1}{49 \times \left(\frac{1}{14}\right)^2} = \frac{1}{49 \times \frac{1}{196}} = \frac{1}{\frac{49}{196}} = \frac{196}{49} = 4 \]
Шаг 3: числитель:
\[ 1 - 4 = -3 \]
Шаг 4: найти знаменатель:
\[ 3a - \frac{1}{7b} \]
Посчитаем:
\[ 3a = 3 \times -\frac{1}{3} = -1 \] \[ \frac{1}{7b} = \frac{1}{7 \times \frac{1}{14}} = \frac{1}{\frac{7}{14}} = \frac{14}{7} = 2 \]
Значит:
\[ 3a - \frac{1}{7b} = -1 - 2 = -3 \]
Шаг 5: итог:
\[ \frac{-3}{-3} = 1 \]
Ответ: 1
Задача 4
При изготовлении труб диаметром 30 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного более чем на 0,02 мм, равна 0,063. Найдите вероятность того, что случайно выбранный диаметр будет в диапазоне от 29,98 до 30,02 мм.
Общая идея:
Данная задача — модель нормального распределения с центром в 30 мм.
Вероятность выхода за границы ±0,02 мм (от 29,98 до 30,02 мм) равна 0,063.
Нас интересует вероятность,
что диаметр попадёт в пределах этого диапазона.
Так как суммарная вероятность за пределами этого диапазона равна 0,063, то вероятность в пределах:
\[ 1 - 0,063 = 0,937 \]
Ответ: 0,937
Задача 5
В среднем 5 керамических горшков из 250 после обжига имеют дефекты. Найдите вероятность, что случайно выбранный после обжига горшок не имеет дефекта.
Решение:
Вероятность, что горшок имеет дефект:
\[ p(\text{дефект}) = \frac{5}{250} = \frac{1}{50} = 0,02 \]
Следовательно, вероятность, что горшок не имеет дефекта:
\[ 1 - 0,02 = 0,98 \]
Ответ: 0,98
Задача 6
Соревнования по фигурному катанию:
- За 4 дня запланировано 50 выступлений.
- В первые два дня — по 13, всего 26 выступлений.
- Остальные — распределены поровну между третьим и четвёртым днем, и в соревнования участвует спортсмен Б.
Определить вероятность, что спортсмен Б будет выступать в последний день.
Решение:
- Конкретное распределение выступлений между третьим и четвертым днем:
Всего: 50
Первый и второй дни: 13 + 13 = 26
Оставшиеся: 50 - 26 = 24
Расподелены поровну между 3-м и 4-м днями:
\[ \frac{24}{2} = 12 \]
Если в соревнованиях участвует спортсмен Б, то без дополнительной информации исходно о его месте в списке — предполагаем равномерную вероятность, и он может выступать в любой день. Однако, задача — вероятностное распределение.
Вероятность, что Б выступает в последний день, — это 1/2, поскольку он может выступать в любой из трех дней, и 50% вероятность, что в последний день.
Ответ: 0,5 или 50%
Задача 7
Вероятность, что случайно выбранный ученик художественной студии занимается росписью по ткани или скульптурой.
- В студии 25 учеников.
- 4 занимаются росписью.
- 7 — скульптурой.
- Никто не занимается одновременно обоими.
- Нужно найти вероятность, что выбранный студент занимается росписью по ткани или скульптурой.
Шаги:
Общее число учеников: 25.
Количество, занимающихся росписью по ткани: 4.
Количество, занимающихся скульптурой: 7.
Общее число занимающихся хотя бы
