Про случайную величину Х известно, что EX=4, DX=10. При помощи неравенства Чебышёва оцените вероятность события «Х ≤ -1 или х ≥ 9».
Давайте решим задачу поэтапно, используя неравенство Чебышёва.
Дано:
- \( E[X] = 4 \)
- \( D[X] = 10 \)
Нас просят оценить вероятность события:
\[
P(X \leq -1 \text{ или } X \geq 9)
\]
Это можно переписать в виде двух вероятностей и объединить их:
\[ P(X \leq -1) + P(X \geq 9) \]
Шаг 1. Определение отклонений от среднего
Нам нужно оценить вероятность того, что \( X \) отклоняется от среднего \( E[X] = 4 \) более чем на определённое расстояние.
Рассчитаем отклонения:
- Для события \( X \leq -1 \): \[ |X - E[X]| \geq | -1 - 4 | = 5 \]
- Для события \( X \geq 9 \): \[ |X - E[X]| \geq | 9 - 4 | = 5 \]
Обратите внимание, что оба события связаны с отклонением от среднего на не менее чем 5.
Шаг 2. Объединение событий
Обозначим событие:
\[ A = \{X \leq -1 \text{ или } X \geq 9\} \]
Обозначим для оценки вероятности:
\[ P(A) \leq P(|X - E[X]| \geq 5) \]
Шаг 3. Применение неравенства Чебышёва
Неравенство Чебышёва утверждает, что для любой случайной величины \( X \):
\[ P(|X - E[X]| \geq a) \leq \frac{D[X]}{a^2} \]
где \( D[X] \) — дисперсия, а \( a \) — произвольное положительное число.
Подставим наши данные:
- \( D[X] = 10 \)
- \( a = 5 \)
Тогда:
\[ P(|X - 4| \geq 5) \leq \frac{10}{5^2} = \frac{10}{25} = 0.4 \]
Итог:
\[ \boxed{ P(X \leq -1 \text{ или } X \geq 9) \leq 0.4 } \]
Ответ:
Используя неравенство Чебышёва, мы получаем, что вероятность того, что \( X \) окажется либо меньше \(-1\), либо больше \(9\), не превышает 0,4 (40%).
