Давайте решим задачу поэтапно, используя неравенство Чебышёва.
Дано:
- ( E[X] = 4 )
- ( D[X] = 10 )
Нас просят оценить вероятность события:
[
P(X \leq -1 \text{ или } X \geq 9)
]
Это можно переписать в виде двух вероятностей и объединить их:
[
P(X \leq -1) + P(X \geq 9)
]
Шаг 1. Определение отклонений от среднего
Нам нужно оценить вероятность того, что ( X ) отклоняется от среднего ( E[X] = 4 ) более чем на определённое расстояние.
Рассчитаем отклонения:
- Для события ( X \leq -1 ):
[
|X - E[X]| \geq | -1 - 4 | = 5
]
- Для события ( X \geq 9 ):
[
|X - E[X]| \geq | 9 - 4 | = 5
]
Обратите внимание, что оба события связаны с отклонением от среднего на не менее чем 5.
Шаг 2. Объединение событий
Обозначим событие:
[
A = {X \leq -1 \text{ или } X \geq 9}
]
Обозначим для оценки вероятности:
[
P(A) \leq P(|X - E[X]| \geq 5)
]
Шаг 3. Применение неравенства Чебышёва
Неравенство Чебышёва утверждает, что для любой случайной величины ( X ):
[
P(|X - E[X]| \geq a) \leq \frac{D[X]}{a^2}
]
где ( D[X] ) — дисперсия, а ( a ) — произвольное положительное число.
Подставим наши данные:
Тогда:
[
P(|X - 4| \geq 5) \leq \frac{10}{5^2} = \frac{10}{25} = 0.4
]
Итог:
[
\boxed{
P(X \leq -1 \text{ или } X \geq 9) \leq 0.4
}
]
Ответ:
Используя неравенство Чебышёва, мы получаем, что вероятность того, что ( X ) окажется либо меньше (-1), либо больше (9), не превышает 0,4 (40%).
