реши
Давайте решим систему уравнений:
\[ \begin{cases} 4x^2 + 3y^2 = 39, \\ 3x^2 - 4y^2 = 23. \end{cases} \]
Шаг 1. Разделим задачу на две части, чтобы найти значения \( x^2 \) и \( y^2 \).
Чтобы избавиться от суммирования, сложим два уравнения:
\[ (4x^2 + 3y^2) + (3x^2 - 4y^2) = 39 + 23. \]
Это дает:
\[ 4x^2 + 3y^2 + 3x^2 - 4y^2 = 62. \]
Объединим похожие члены:
\[ (4x^2 + 3x^2) + (3y^2 - 4y^2) = 62, \]
\[ 7x^2 - y^2 = 62. \]
Обозначим это как первое новое уравнение:
Уравнение (1):
\[ 7x^2 - y^2 = 62. \]
Шаг 2. Теперь вычтем второе уравнение из первого исходного уравнения, чтобы избавиться от \( y^2 \):
\[ (4x^2 + 3y^2) - (3x^2 - 4y^2) = 39 - 23. \]
Это дает:
\[ 4x^2 + 3y^2 - 3x^2 + 4y^2 = 16. \]
Объединим:
\[ (4x^2 - 3x^2) + (3y^2 + 4y^2) = 16, \]
\[ x^2 + 7y^2 = 16. \]
Обозначим это как уравнение (2):
Уравнение (2):
\[ x^2 + 7y^2 = 16. \]
Шаг 3. Теперь у нас система:
\[ \begin{cases} 7x^2 - y^2 = 62, \\ x^2 + 7y^2 = 16. \end{cases} \]
Решим её методом подставки или исключения.
Выразим \( y^2 \) из второго уравнения:
\[ x^2 + 7y^2 = 16 \Rightarrow 7y^2 = 16 - x^2, \]
\[ y^2 = \frac{16 - x^2}{7}. \]
Подставим это выражение в уравнение (1):
\[ 7x^2 - y^2 = 62, \]
\[ 7x^2 - \frac{16 - x^2}{7} = 62. \]
Умножим обе части на 7, чтобы избавиться от дроби:
\[ 7 \cdot 7x^2 - (16 - x^2) = 62 \cdot 7, \]
\[ 49x^2 - 16 + x^2 = 434. \]
Объединим похожие члены:
\[ (49x^2 + x^2) - 16 = 434, \]
\[ 50x^2 - 16 = 434. \]
Добавим 16 к обеим частям:
\[ 50x^2 = 450, \]
\[ x^2 = \frac{450}{50} = 9. \]
Значит,
\[ x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3. \]
Шаг 4. Теперь найдем \( y^2 \):
\[ y^2 = \frac{16 - x^2}{7} = \frac{16 - 9}{7} = \frac{7}{7} = 1. \]
Следовательно:
\[ y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1. \]
Ответ:
\[ x = \pm 3, \quad y = \pm 1. \]
Это все возможные решения системы.
Если нужно, могу привести конкретные решения, например, для каждой комбинации знаков:
- \( (x, y) = (3, 1) \),
- \( (3, -1) \),
- \( (-3, 1) \),
- \( (-3, -1) \).
Все эти точки удовлетворяют исходной системе уравнений.
