Реши

Давайте решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 4x^2 + 3y^2 = 39, \\ 3x^2 - 4y^2 = 23. \end{cases} \] Шаг 1. Разделим задачу на две части, чтобы найти значения \( x^2 \) и \( y^2 \). Чтобы избавиться от суммирования, сложим два уравнения: \[ (4x^2 + 3y^2) + (3x^2 - 4y^2) = 39 + 23. \] Это дает: \[ 4x^2 + 3y^2 + 3x^2 - 4y^2 = 62. \] Объединим похожие члены: \[ (4x^2 + 3x^2) + (3y^2 - 4y^2) = 62, \] \[ 7x^2 - y^2 = 62. \] Обозначим это как первое новое уравнение: **Уравнение (1):** \[ 7x^2 - y^2 = 62. \] Шаг 2. Теперь вычтем второе уравнение из первого исходного уравнения, чтобы избавиться от \( y^2 \): \[ (4x^2 + 3y^2) - (3x^2 - 4y^2) = 39 - 23. \] Это дает: \[ 4x^2 + 3y^2 - 3x^2 + 4y^2 = 16. \] Объединим: \[ (4x^2 - 3x^2) + (3y^2 + 4y^2) = 16, \] \[ x^2 + 7y^2 = 16. \] Обозначим это как уравнение (2): **Уравнение (2):** \[ x^2 + 7y^2 = 16. \] Шаг 3. Теперь у нас система: \[ \begin{cases} 7x^2 - y^2 = 62, \\ x^2 + 7y^2 = 16. \end{cases} \] Решим её методом подставки или исключения. Выразим \( y^2 \) из второго уравнения: \[ x^2 + 7y^2 = 16 \Rightarrow 7y^2 = 16 - x^2, \] \[ y^2 = \frac{16 - x^2}{7}. \] Подставим это выражение в уравнение (1): \[ 7x^2 - y^2 = 62, \] \[ 7x^2 - \frac{16 - x^2}{7} = 62. \] Умножим обе части на 7, чтобы избавиться от дроби: \[ 7 \cdot 7x^2 - (16 - x^2) = 62 \cdot 7, \] \[ 49x^2 - 16 + x^2 = 434. \] Объединим похожие члены: \[ (49x^2 + x^2) - 16 = 434, \] \[ 50x^2 - 16 = 434. \] Добавим 16 к обеим частям: \[ 50x^2 = 450, \] \[ x^2 = \frac{450}{50} = 9. \] Значит, \[ x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3. \] Шаг 4. Теперь найдем \( y^2 \): \[ y^2 = \frac{16 - x^2}{7} = \frac{16 - 9}{7} = \frac{7}{7} = 1. \] Следовательно: \[ y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1. \] **Ответ:** \[ x = \pm 3, \quad y = \pm 1. \] Это все возможные решения системы. --- Если нужно, могу привести конкретные решения, например, для каждой комбинации знаков: - \( (x, y) = (3, 1) \), - \( (3, -1) \), - \( (-3, 1) \), - \( (-3, -1) \). Все эти точки удовлетворяют исходной системе уравнений.