В прямоугольном треугольнике АВС угол А=90 градусов, АВ=20 см, высота АД=12 см. Найдите АС и cos С

Дано: прямоугольный треугольник \(ABC\) с углом \(A = 90^\circ\), \(AB = 20\) см, высота \(AD = 12\) см, где \(D\) — точка на гипотенузе \(BC\), опущенная из угла \(A\).

Задача: найти гипотенузу \(AC\) и \(\cos C\).

1. Обозначим стороны:

• \(AB\) — прилежащая к углу \(A\),
• \(AC\) — противоположная углу \(A\),
• \(BC\) — гипотенуза.

Так как \(A = 90^\circ\), то \(AB\) и \(AC\) — катеты, а \(BC\) — гипотенуза.

2. В высоте \(AD\) она разбивает гипотенузу \(BC\) на два отрезка:

• \(BD\),
• \(DC\).

Известно: высота из прямого угла в прямоугольном треугольнике равна геометрической средней между отрезками гипотенузы: \[ AD^2 = BD \cdot DC. \] Подставим: \[ 12^2 = BD \cdot DC, \] \[ 144 = BD \cdot DC. \] Также по свойствам прямоугольного треугольника: \[ AB^2 = BD \cdot BC, \] \[ AC^2 = DC \cdot BC. \]

Обозначим \(BC = x\), тогда: \[ BD = \frac{AB^2}{x} = \frac{20^2}{x} = \frac{400}{x}, \] \[ DC = \frac{AC^2}{x}. \]

Из условия: \[ 144 = BD \cdot DC = \frac{400}{x} \cdot \frac{AC^2}{x} = \frac{400 \cdot AC^2}{x^2}. \] Тогда: \[ 144 x^2 = 400 \cdot AC^2. \] А также из геометрии треугольника: \[ BC = x = BD + DC = \frac{400}{x} + \frac{AC^2}{x} = \frac{400 + AC^2}{x}. \]

Умножим обе части на \(x\): \[ x^2 = 400 + AC^2. \] Обозначим \(AC = c\). Тогда: \[ x^2 = 400 + c^2. \]

Из предыдущего равенства: \[ 144 x^2 = 400 c^2, \] подставим \(x^2\): \[ 144 (400 + c^2) = 400 c^2, \] раскроем скобки: \[ 144 \cdot 400 + 144 c^2 = 400 c^2, \] \[ 57600 + 144 c^2 = 400 c^2, \] перенесем всё в левую сторону: \[ 57600 = 400 c^2 - 144 c^2 = 256 c^2, \] следовательно: \[ c^2 = \frac{57600}{256} = 225, \] а значит: \[ c = AC = \sqrt{225} = 15 \text{ см}. \]

Теперь найдем \(BC = x\): \[ x^2 = 400 + c^2 = 400 + 225 = 625, \] \[ x = BC = \sqrt{625} = 25 \text{ см}. \]

3. Для нахождения \(\cos C\): Угол \(C\) при вершине \(C\), и сторона, прилежащая к нему — \(AB = 20\) см, гипотенуза — \(BC = 25\) см, гипотенуза — \(AC = 15\) см.

Поскольку \(\cos C = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\), а угол \(C\) — против катета \(AB\), то:

\[ \cos C = \frac{AB}{BC} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0{,}8. \]

Ответ:
\[ \boxed{ AC = 15\,\text{см}, \quad \cos C = 0{,}8} \]