Периметр правильного треугольника описанного около окружности равен 45 найдите площадь правильного шестиугольника вписаного в эту окружность

Давайте разберём задачу пошагово. **Дано:** - Периметр правильного треугольника, описанного около окружности, равен 45. - Нужно найти площадь правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность. --- ## Шаг 1. Анализ информации о правильном треугольнике - Правильный треугольник описан около окружности. - Периметр треугольника \( P_{\triangle} = 45 \). Для правильного треугольника: \[ P_{\triangle} = 3a \] где \( a \) — сторона треугольника. Тогда: \[ a = \frac{P_{\triangle}}{3} = \frac{45}{3} = 15 \] --- ## Шаг 2. Связь описанного треугольника и окружности Рассмотрим свойства правильного треугольника: - Вписанная окружность касается каждой стороны в её центре. - Описанная окружность — это окружность, проходящая через все вершины треугольника. При этом: - Радиус описанной окружности \( R \) для правильного треугольника связан со стороной \( a \) следующим образом: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Поскольку треугольник равносторонний, его центр — это центр окружности, и радиус равен расстоянию от центра до вершины. Подставляем значение \( a = 15 \): \[ R = \frac{15}{\sqrt{3}} = 15 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 5 \sqrt{3} \] Отсюда, радиус окружности: \[ R = 5 \sqrt{3} \] --- ## Шаг 3. Связь с вписанным шестиугольником - Вписанный шестиугольник в окружность — правильный шестиугольник. Характеристика правильного шестиугольника: - Его стороны равны радиусу окружности. - Вписанный шестиугольник имеет сторону \( s \), равную радиусу окружности: \[ s = R \] Но в этом случае важно помнить, что: - Вписанный шестиугольник: каждая вершина касается окружности. - В этом случае длина стороны шестиугольника равна радиусу окружности. --- ## Шаг 4. Площадь шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника со стороной \( s \): \[ S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} s^2 \] Подставим \( s = R = 5 \sqrt{3} \): \[ S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times (5 \sqrt{3})^2 \] Рассчитаем \( (5 \sqrt{3})^2 \): \[ (5 \sqrt{3})^2 = 25 \times 3 = 75 \] Теперь: \[ S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 75 = \frac{3 \sqrt{3} \times 75}{2} \] Упростим: \[ S = \frac{(3 \times 75) \sqrt{3}}{2} = \frac{225 \sqrt{3}}{2} \] --- ## Итоговая ответ: \[ \boxed{ \text{Площадь шестиугольника} = \frac{225 \sqrt{3}}{2} } \] Это приблизительно равно: \[ \approx 194.2 \] Когда нужно, можно оставить в указанном виде или в виде числового приближения.