Рассмотрим задачу более подробно и пошагово.
Обозначения:
- Пусть скорость второго велосипедиста — ( v ) км/ч.
- Тогда скорость первого велосипедиста — ( v + 14 ) км/ч.
Из условия известно:
- Расстояние для обоих одинаковое — 140 км.
- Первый приезжает на 5 часов раньше второго.
Обозначим:
- Время, за которое едет второй велосипедист — ( t_2 ) часов.
- Время, за которое едет первый велосипедист — ( t_1 ) часов.
По условию:
[ t_1 = t_2 - 5 ]
Из формулы движения:
[ \text{Расстояние} = \text{Скорость} \times \text{Время} ]
следовательно:
[ t_2 = \frac{140}{v} ]
[ t_1 = \frac{140}{v + 14} ]
Запишем уравнение, учитывая разницу во времени:
[ \frac{140}{v + 14} = \frac{140}{v} - 5 ]
Теперь решим это уравнение:
Перенесем все в уравнение:
[ \frac{140}{v + 14} = \frac{140}{v} - 5 ]
Упростим правую часть:
[ \frac{140}{v} - 5 = \frac{140}{v} - \frac{5v}{v} = \frac{140 - 5v}{v} ]
Получим:
[ \frac{140}{v + 14} = \frac{140 - 5v}{v} ]
Теперь перемножим крест-накрест для устранения дробей:
[ 140v = (140 - 5v)(v + 14) ]
Раскроем скобки справа:
[ (140 - 5v)(v + 14) = 140v + 1960 - 5v^2 - 70v ]
Объединим подобные члены:
[ 140v - 70v + 1960 - 5v^2 = 70v + 1960 - 5v^2 ]
Итак:
[ 140v = 70v + 1960 - 5v^2 ]
Перенесем все в левую сторону:
[ 140v - 70v - 1960 + 5v^2 = 0 ]
Упростим:
[ 70v - 1960 + 5v^2 = 0 ]
Перепишем:
[ 5v^2 + 70v - 1960 = 0 ]
Разделим всю формулу на 5 для удобства:
[ v^2 + 14v - 392 = 0 ]
Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
[ D = (14)^2 - 4 \times 1 \times (-392) = 196 + 1568 = 1764 ]
Корень дискриминанта:
[ \sqrt{D} = \sqrt{1764} = 42 ]
Найдём корни уравнения:
[ v = \frac{-14 \pm 42}{2} ]
Первый корень:
[ v = \frac{-14 + 42}{2} = \frac{28}{2} = 14 ]
Второй корень:
[ v = \frac{-14 - 42}{2} = \frac{-56}{2} = -28 ]
Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем ( v = 14 ) км/ч.
Ответ: скорость второго велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, — 14 км/ч.
