Давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы понять, как найти скорость второго велосипедиста.
Обозначения:
- Пусть скорость второго велосипедиста — ( v ) км/ч.
- Тогда скорость первого велосипедиста — ( v + 14 ) км/ч.
Из условия:
- Длина пробега — 140 км.
- Первый приехал на 5 часов раньше второго.
Шаг 1. Запишем выражения для времени поездки каждого велосипедиста.
Время, затраченное каждым:
- Второй: ( t_2 = \frac{140}{v} ) часов.
- Первый: ( t_1 = \frac{140}{v + 14} ) часов.
Шаг 2. Условие о разнице во времени.
Первый едет на 5 часов быстрее, значит:
[ t_2 - t_1 = 5. ]
Подставим выражения:
[ \frac{140}{v} - \frac{140}{v + 14} = 5. ]
Шаг 3. Решим уравнение.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
[ \frac{140(v + 14) - 140v}{v(v + 14)} = 5. ]
Раскроем числитель:
[ 140v + 140 \times 14 - 140v = 140 \times 14. ]
Обратите внимание, что ( 140v - 140v = 0 ), остается только:
[ \frac{140 \times 14}{v(v + 14)} = 5. ]
Вычислим (140 \times 14):
[ 140 \times 14 = 1960. ]
Теперь уравнение:
[ \frac{1960}{v(v + 14)} = 5. ]
Шаг 4. Решим относительно ( v ).
Перемножим обе части уравнения на знаменатель:
[ 1960 = 5 \times v(v + 14). ]
Раскроем скобки:
[ 1960 = 5v^2 + 70v. ]
Разделим обе части на 5:
[ 392 = v^2 + 14v. ]
Перенесем все в левую сторону уравнения:
[ v^2 + 14v - 392 = 0. ]
Шаг 5. Решим квадратное уравнение.
Используем формулу:
[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]
где ( a=1 ), ( b=14 ), ( c=-392 ).
Вычислим дискриминант:
[ D = 14^2 - 4 \times 1 \times (-392) = 196 + 1568 = 1764. ]
Найдем корень:
[ \sqrt{1764} = 42. ]
Теперь решения для ( v ):
[ v = \frac{-14 \pm 42}{2}. ]
Рассмотрим оба варианта:
- ( v = \frac{-14 + 42}{2} = \frac{28}{2} = 14 ).
- ( v = \frac{-14 - 42}{2} = \frac{-56}{2} = -28 ).
Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем только положительный вариант:
[ v = 14 \text{ км/ч}. ]
Ответ:
Скорость второго велосипедиста — 14 км/ч.
К тому же, скорость первого:
[ v + 14 = 14 + 14 = 28 \text{ км/ч}. ]
Это подтверждает, что первый едет со скоростью 28 км/ч и прибывает на 5 часов раньше.
