Давайте разберем эту задачу шаг за шагом. Пусть на доске написаны неотрицательные целые числа \( x_1, x_2, \ldots, x_n \). 1. Коля вычел из каждого числа 1. Тогда сумма модулей…

Разумеется, давайте подробно разберем эту задачу шаг за шагом. Итак, у нас есть набор неотрицательных целых чисел \( x_1, x_2, \ldots, x_n \), и три операции, которые связаны с вычитанием определенных чисел и полученными суммами абсолютных значений.

---

Шаг 1. Анализ условий после вычитания

Вычитание 1:

Коля вычел 1 из каждого числа: \[ \sum_{i=1}^n |x_i - 1| = 53 \]

\[ |x_i - 1| = \begin{cases} x_i - 1, & \text{если } x_i \ge 1 \\ 1 - x_i, & \text{если } x_i < 1 \end{cases} \]

Поскольку числа неотрицательные и целые, то \[ x_i \ge 0 \] и единственное значение, меньшее 1, — это 0. Обозначим:

• \(k\) — количество чисел, равных нулю (\(x_i=0\)),
• остальные \(n - k\) числа — неотрицательные целые, большие или равные 1.

Тогда сумма после вычитания 1: \[ \sum_{x_i \ge 1} (x_i - 1) + \underbrace{\sum_{x_i=0} (1 - 0)}_{=k} \]

Обозначим сумму чисел, больших или равных 1, как \(S_{\ge 1} = \sum_{x_i \ge 1} x_i\).

Тогда: \[ \sum |x_i - 1| = \left(\sum_{x_i \ge 1} (x_i -1)\right) + k = \left(\sum_{x_i \ge 1} x_i - (n - k)\right) + k \] \[ = \left(S_{\ge 1} - (n - k)\right) + k = S_{\ge 1} - n + 2k \]

Из условия: \[ S_{\ge 1} - n + 2k = 53 \quad (1) \]

---

Шаг 2. После вычитания 2

\[ \sum |x_i - 2| = 44 \]

Для каждого \(x_i\): \[ |x_i - 2| = \begin{cases} x_i - 2, & x_i \ge 2 \\ 2 - x_i, & x_i < 2 \end{cases} \]

Обозначим:

• \(m\) — количество чисел, равных 1 (\(x_i=1\));
• \(p\) — количество чисел, равных 0 (\(x_i=0\));
• Остальные — числа, \(x_i \ge 2\).

Количество чисел, равных 1 — \(m\), чисел, равных 0 — \(p\), чисел, больших или равных 2 — \(n - p - m\).

Тогда сумма по этим элементам: \[ \sum |x_i - 2| = \sum_{x_i \ge 2} (x_i - 2) + \sum_{x_i=1} (2 - 1) + \sum_{x_i=0} (2 - 0) \] \[ = \left(\sum_{x_i \ge 2} x_i - 2(n - p - m)\right) + m + 2p \]

Обозначим сумму всех чисел, больших или равных 2: \[ S_{\ge 2} = \sum_{x_i \ge 2} x_i \]

Тогда: \[ \sum |x_i - 2| = S_{\ge 2} - 2(n - p - m) + m + 2p \] Из условия: \[ S_{\ge 2} - 2(n - p - m) + m + 2p = 44 \quad (2) \]

---

Шаг 3. После вычитания 3

Аналогично, по условию: \[ \sum |x_i - 3|= 59 \]

Разобьем числа по значениям:

• \(q\) — число элементов, равных 2 (\(x_i=2\))
• \(r\) — число элементов, равных 1 (\(x_i=1\))
• \(p\) — число элементов, равных 0 (\(x_i=0\))
• Остальные числа \(x_i \ge 3\), их количество \(n - p - r - q\).

Сумма по этим элементам: \[ \sum |x_i - 3| = \sum_{x_i \ge 3} (x_i - 3) + r + 2q + 3p \] где: \[ S_{\ge 3} = \sum_{x_i \ge 3} x_i \]

Пусть \(t\) — количество чисел, равных 2, но это мы обозначили как \(q\).

Тогда: \[ S_{\ge 3} - 3(n - p - r - q) + r + 2q + 3p = 59 \] или \[ S_{\ge 3} - 3n + 3p + 3r + 3q + r + 2q + 3p = 59 \]

Объединим подобные: \[ S_{\ge 3} - 3n + (3p + 3p) + (3r + r) + (3q + 2q) = 59 \] \[ S_{\ge 3} - 3n + 6p + 4r + 5q = 59 \quad (3) \]

---

Шаг 4. Общие суммы

Обозначим:

• Общая сумма всех чисел: \(S = \sum_{i=1}^n x_i\).

Заметим: \[ S = \underbrace{\sum_{x_i \ge 3} x_i}_{= S_{\ge 3}} + \sum_{x_i=2} 2 + \sum_{x_i=1} 1 + \sum_{x_i=0} 0 = S_{\ge 3} + 2q + r \]

Из первых двух уравнений (1 и 2), можно выразиться для суммы \(S\), потому что в них есть суммы \(S_{\ge 1}\) и \(S_{\ge 2}\).

---

Шаг 5. Итоговые уравнения и поиск решения

Значения \(k, m, p, r, q\) связаны с количеством элементов равных конкретным числам, и через них можем получить систему уравнений.

Вообще, задача после всех преобразований сводится к поиску числовых значений, удовлетворяющих этим равенствам. Обычно, в подобных задачах, встречаются числа, равные 0, 1, 2, 3, а остальные — большие.

Далее, для упрощения, попробуем принять некоторые предположения или искать конкретное решение. Например, исходя из условий, попробуем определить минимальные и максимальные возможные значения.

---

Итоговый вывод (если нужно конкретное решение):

Давайте попробуем понять логически:

• сума абсолютных значений при вычитании 1 равна 53, то есть суммы "разностей" достаточно велики.
• при вычитании 2 — сумма 44,
• при вычитании 3 — сумма 59.

Чему равна средняя величина разностей?

• Первое: \(53/n\)
• Второе: \(44/n\)
• Третье: \(59/n\)

Если взять пример, например, \( n=10 \), то средние значения составляли бы примерно 5,3; 4,4; 5,9 — что указывает на то, что числа не очень большие.

---

Итоговая рекомендация:

Для окончательного ответа необходимо подобрать конкретные числа \(x_i\), удовлетворяющие равенствам. Часто в таких задачах числа — минимальные: 0, 1, 2, 3, и большие. Определим пример:

Пусть:

• \(k=2\) числа равны 0,
• \(m=2\) числа равны 1,
• \(q=2\) числа равны 2,
• остальные большие.

Проверим, например, что числа: 0,0,1,1,2,2, и остальные числа — равны 4 или 5.

---

Итог:

Эта задача, скорее всего, сводится к выбору конкретных значений \(x_i\), которые дают такие суммы абсолютных разностей.

---

Итюмин:

Если нужно конкретное решение, я могу предложить пример набора чисел.
Например, попробуем взять \(x_i = 0,1,2,4,5\) и проверить, подходят ли они к условиям.
Но чтобы точно решить систему, лучше подставить конкретные значения.

---

Если нужно, я могу помочь найти конкретный набор чисел, или дополнительно разобрать систему уравнений, или объяснить, как можно получить полный ответ.

---

Пожалуйста, скажите, хотите ли, чтобы я подготовил конкретный пример набора чисел или подробнее разобрал какой-то из шагов?