Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Вероятность того, что в каждом автомате закончится кофе: ( P(A) = 0,4 )
- Вероятность того, что в другом автомате закончится кофе: ( P(B) = 0,4 )
- Вероятность, что оба автомата закончатся одновременно: ( P(A \cap B) = 0,14 )
Нам нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах.
Это означает, что в каждом автомате кофе не закончится, то есть события: "в первом не закончится" и "во втором не закончится".
Обозначим:
- "Кофе не закончится" в первом автомате: ( P(A^c) )
- "Кофе не закончится" во втором автомате: ( P(B^c) )
Нам нужно найти ( P(\text{не закончится в обоих}) = P(A^c \cap B^c) ).
Шаг 1. Найти вероятность, что в первом автомате не закончится:
( P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0,4 = 0,6 )
Аналогично для второго:
( P(B^c) = 0,6 )
Шаг 2. Используем формулу для вероятности пересечения событий:
Общая формула для двух событий:
[
P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)
]
Но в данный момент нам нужна вероятность, что оба события — "кофе не закончится" — произойдут одновременно, то есть ( P(A^c \cap B^c) ).
Используем закон включения-исключения для отрицательных событий:
[
P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)
]
или, альтернативно, для совместных событий:
[
P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)
]
Чтобы найти ( P(A \cup B) ), воспользуемся формулой:
[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,4 + 0,4 - 0,14 = 0,66
]
Теперь вычислим:
[
P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,66 = 0,34
]
Ответ:
Вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах, равна (\boxed{0,34}).
