Давайте разберем задачу по шагам и подробно объясним решение.
Задача:
Внутри круга радиусом 10 см начертили квадрат так, что диагональ квадрата равна диаметру окружности. Нужно найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри окружности принадлежит этому квадрату.
Шаг 1. Определим основные параметры
- Радиус окружности: ( R = 10 ) см.
- Диаметр окружности: ( D = 2R = 20 ) см.
- Диагональ квадрата: ( d = D = 20 ) см.
Шаг 2. Связь диагонали квадрата и его стороны
Обозначим сторону квадрата как ( a ). Связь между стороной и диагональю квадрата:
[
d = a\sqrt{2}
]
Следовательно,
[
a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}
]
Ответ:
[
a = 10\sqrt{2} \text{ см}
]
Шаг 3. Площадь квадрата
Площадь квадрата:
[
S_{квадрата} = a^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \times 2 = 200 \text{ см}^2
]
Шаг 4. Площадь окружности
Площадь окружности:
[
S_{окружности} = \pi R^2
]
По условию, (\pi = 3). Тогда:
[
S_{окружности} = 3 \times 10^2 = 3 \times 100 = 300 \text{ см}^2
]
Шаг 5. Расположение квадрата внутри окружности
Из условия, диагональ квадрата равна диаметру окружности, а квадраты обычно могут быть или внутри, или окружать окружность.
Но в данной задаче сказано, что внутри окружности начертили квадрат с диагональю, равной диаметру. Это означает, что квадраты помещен так, чтобы его вершины касались окружности (диагональ, равная диаметру окружности).
На практике, поскольку диагональ квадрата равна диаметру окружности, центр квадрата совпадает с центром окружности, а все вершины квадрата лежат на окружности (квадрат вписанный в окружность).
Это важное уточнение:
- Квадрат вписан в окружность, то есть все четыре вершины квадрата лежат на окружности диаметра.
Шаг 6. Нахождение вероятности
Вероятность того, что случайно выбранная точка внутри окружности принадлежит квадрату, равна отношению площади квадрата к площади окружности:
[
P = \frac{S_{квадрата}}{S_{окружности}} = \frac{200}{300} = \frac{2}{3}
]
Ответ:
[
\boxed{\frac{2}{3}}
]
Это и есть искомая вероятность.
Если есть дополнительные уточнения или вопросы — скажите!
