Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждое из них.
Дано:
- Сила притяжения планеты к Солнцу: (F_p)
- Сила притяжения Земли к Солнцу: (F_З)
- Масса планеты: (M_p)
- Масса Земли: (M_З)
- Расстояние от планеты до Солнца: (r_p)
- Расстояние от Земли до Солнца: (r_З)
Из условия:
[F_p = \frac{1}{11,8} \times F_З]
[r_p = 5,2 \times r_З]
1. Закон всемирного тяготения
Закон гласит:
[
F = G \frac{M \times M_{Солнца}}{r^2}
]
Где:
- (F) — сила притяжения между двумя телами,
- (M) — масса тела (в данном случае — планеты),
- (M_{Солнца}) — масса Солнца,
- (r) — расстояние между телами,
- (G) — гравитационная постоянная.
2. Связь силы и масс
Для планеты:
[
F_p = G \frac{M_p M_{Солнца}}{r_p^2}
]
Для Земли:
[
F_З = G \frac{M_З M_{Солнца}}{r_З^2}
]
3. Выразим соотношение сил
Поделим (F_p) на (F_З):
[
\frac{F_p}{F_З} = \frac{G \frac{M_p M_{Солнца}}{r_p^2}}{G \frac{M_З M_{Солнца}}{r_З^2}} = \frac{M_p}{M_З} \times \frac{r_З^2}{r_p^2}
]
Заметим, что (G) и (M_{Солнца}) сокращаются.
Известно:
[
\frac{F_p}{F_З} = \frac{1}{11,8}
]
и
[
r_p = 5,2 r_З
]
Подставляем:
[
\frac{1}{11,8} = \frac{M_p}{M_З} \times \frac{r_З^2}{(5,2 r_З)^2}
]
Упростим дробь:
[
\frac{r_З^2}{(5,2 r_З)^2} = \frac{r_З^2}{27,04 r_З^2} = \frac{1}{27,04}
]
Далее получаем:
[
\frac{1}{11,8} = \frac{M_p}{M_З} \times \frac{1}{27,04}
]
Выразим массу планеты:
[
\frac{M_p}{M_З} = \frac{1/11,8}{1/27,04} = \frac{27,04}{11,8}
]
Посчитаем:
[
\frac{M_p}{M_З} \approx \frac{27,04}{11,8} \approx 2,2915
]
Ответ:
Масса планеты примерно в 2,29 раза меньше массы Земли.
Итоговая формула и ответ:
[
\boxed{
\frac{M_p}{M_З} \approx 2,29
}
]
Если ответ округлять до сотых, получаем 2,29.
