Давайте разберём решение задачи по шагам.
Дано:
- Ток ( I = 0,5 \text{ мА} = 0,5 \times 10^{-3} \text{ А} = 5 \times 10^{-4} \text{ А} )
- Время зарядки ( t = 28 \text{ с} )
- Заряженный конденсатор накапливает энергию ( W = 20 \text{ Дж} )
Что нужно найти:
Емкость конденсатора ( C ) в микроФарадах ((\mathrm{\mu F})).
Шаг 1: Определение напряжения на конденсаторе
Энергия, запасенная в конденсаторе, равна:
[
W = \frac{1}{2} C U^2,
]
где ( U ) — конечное напряжение на конденсаторе.
Шаг 2: Определение напряжения через заряд и ток
Через время ( t ) конденсатор заряжается током ( I ), и заряд ( Q ) увеличивается на:
[
Q = I \times t.
]
Поскольку конденсатор заряжается в течение этого времени:
[
Q = C U.
]
Но при постоянном токе заряд равен:
[
Q = I t.
]
Отсюда:
[
U = \frac{Q}{C} = \frac{I t}{C}.
]
Шаг 3: Выразим напряжение ( U )
Заменим ( U ) в уравнении энергии:
[
W = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} C \left(\frac{I t}{C}\right)^2 = \frac{1}{2} C \frac{I^2 t^2}{C^2} = \frac{1}{2} \frac{I^2 t^2}{C}.
]
Отсюда выразим ( C ):
[
C = \frac{1}{2} \frac{I^2 t^2}{W}.
]
Шаг 4: Подставим числовые значения
[
C = \frac{1}{2} \times \frac{(5 \times 10^{-4})^2 \times (28)^2}{20}.
]
Вычислим по частям:
- ( I^2 = (5 \times 10^{-4})^2 = 25 \times 10^{-8} = 2,5 \times 10^{-7} ),
- ( t^2 = 28^2 = 784 ),
тогда:
[
C = \frac{1}{2} \times \frac{2,5 \times 10^{-7} \times 784}{20}.
]
Множим числитель:
[
2,5 \times 10^{-7} \times 784 = 2,5 \times 784 \times 10^{-7} = 1960 \times 10^{-7} = 1,96 \times 10^{-4}.
]
Теперь делим:
[
C = \frac{1}{2} \times \frac{1,96 \times 10^{-4}}{20} = \frac{1}{2} \times \frac{1,96 \times 10^{-4}}{20}.
]
Делим числитель на 20:
[
\frac{1,96 \times 10^{-4}}{20} = 0,098 \times 10^{-4} = 9,8 \times 10^{-6}.
]
Теперь умножим на (\frac{1}{2}):
[
C = \frac{1}{2} \times 9,8 \times 10^{-6} = 4,9 \times 10^{-6} \text{ Ф}.
]
Ответ:
Емкость конденсатора в микрофарадах:
[
C = 4,9 \text{ мкФ}.
]
Итак, ответ: (\boxed{4,9, \text{мкФ}}).
