Цилиндр радиуса 5 см и высотой 15 см стоит на горизонтальном дне сосуда, заполненного водой до высоты 10 см. Вода под основание цилиндра не подтекает. Определите силу, с которой вода действует на цилиндр. Ответ дайте в Н, округлив до десятых. Плотность воды 1 г/см3 . Ускорение свободного падения 10 м/с2 .

Давайте подробно решим задачу и объясним все шаги. **Дано:** - Радиус цилиндра \( R = 5 \) см - Высота цилиндра \( h_{цилиндра} = 15 \) см - Высота воды в сосуде \( h_{воды} = 10 \) см - Плотность воды \( \rho = 1 \ \text{г/см}^3 \) (или 1 г/см³) - Ускорение свободного падения \( g = 10 \ \text{м/с}^2 \) **Переведем все величины в систему SI (метрическую):** - Радиус \( R = 5 \text{см} = 0{,}05 \text{м} \) - Высота воды \( h_{воды} = 10 \text{см} = 0{,}10 \text{м} \) - Плотность воды \( \rho = 1 \text{ г/см}^3 = 1000 \text{ кг/м}^3 \) (так как 1 г/см³ = 1000 кг/м³) - Ускорение \( g = 10 \text{м/с}^2 \) --- ### Что нужно найти? Силу, с которой вода действует на цилиндр. В этом случае это — силовое давление воды на поверхность и на боковую поверхность цилиндра. --- ### Анализ задачи: Вода действует на цилиндр со стороны всех его поверхностей (боковая, верхняя, нижняя). Но в условии указано, что вода под основание цилиндра не протекает (заглубление и т.п. не учитываем); важно понять, что силу давления воды на цилиндр нужно учитывать, исходя из гидростатического давления. В случае горизонтальной поверхности, давление на вертикальные стороны и верхнюю поверхность зависит от глубины. --- ### Шаг 1. давление на боковую поверхность Гидростатическое давление в воде на глубине \( h \): \[ p = \rho g h \] Где: - \( h \) — глубина относительно поверхности воды. На боковой поверхности, расположенной на высоте \( y \) относительно основания цилиндра (от 0 до 15 см). Максимальная глубина — у нижней части цилиндра \( y = 0 \), минимальная — у верхней \( y = 15 \) см, но уровень воды — до высоты 10 см, значит: - Вода заполняет высоту до 10 см, то есть: - Нижняя часть цилиндра — глубже уровня воды, где давление больше. - Верхняя часть цилиндра — часть не заполнена водой, или на уровне 10 см. Для поиска силы давления, необходимо учесть только ту часть цилиндра, которая находится под водой (от основания до уровня воды). --- ### Шаг 2. Определение площади боковой части, находящейся под водой Боковая поверхность цилиндра: \[ A_{бок} = 2 \pi R h \] Но давление зависит от глубины, поэтому для определения силы на боковую поверхность нужно интегрировать давление по высоте. --- ### Шаг 3. Расчет силы давления на боковую поверхность Гидростатическая сила удлиняетсется с помощью следующего: Произведение давления на площадь. Для цилиндра, по площади боковой поверхности: \[ F_{бок} = \int_{0}^{h_{затопленной}} p(y) \cdot dA \] Где: - \( p(y) = \rho g y \) - \( dA = 2 \pi R dy \) — боковая поверхность за высоту \( y \). Нам нужно найти силу давления на горизонтальный участок, который покрыт водой высотой 10 см. Ведь давление, действующее на боковую поверхность, зависит от глубины: чем ниже, тем больше давление. Положим, что вода поднимается до уровня \( y = 10 \) см. --- ### Шаг 4. Расчет силы (более упрощенно) Обратим внимание, что из-за гидростатики, давление верхней границы равно нулю (на поверхности воды давление 0), и максимальное — у дна. Площадь боковой поверхности под водой: \[ A_{бок} = 2 \pi R h_{воды} = 2 \pi \times 0{,}05 \times 0{,}10 \approx 2 \times 3{,}1416 \times 0{,}05 \times 0{,}10 \approx 0{,}0314 \text{м}^2 \] Но так как давление меняется с глубиной, нужно учитывать среднее давление. Среднее давление на боковую поверхность, если взять давление на глубине: \[ p_{сред} = \frac{1}{h_{воды}} \int_0^{h_{воды}} \rho g y \, dy \] \[ p_{сред} = \frac{\rho g}{h_{воды}} \times \frac{h_{воды}^2}{2} = \rho g \frac{h_{воды}}{2} \] Подставим значения: \[ p_{сред} = 1000 \times 10 \times \frac{0{,}10}{2} = 1000 \times 10 \times 0{,}05 = 1000 \times 0{,}5 = 500 \text{ Па} \] --- ### Шаг 5. Итоговая сила Сила — это давление, умноженное на площадь: \[ F = p_{сред} \times A_{бок} \] \[ F = 500 \text{ Н/м}^2 \times 0,0314 \text{м}^2 \approx 15,7 \text{ Н} \] --- ### **Ответ:** **Сила, с которой действует вода на цилиндр, примерно 15,7 Н.** Округлим до десятых: **Ответ: 15,7 Н**.