20% автомобильных аккумуляторов изготавливают на заводе в городе Ю. Остальные – на заводе в г. Д. В городе Ю. в среднем случается 7,5 % брака, а в городе Д. в среднем 2,5 % брака.…
20% автомобильных аккумуляторов изготавливают на заводе в городе Ю. Остальные – на заводе в г. Д. В городе Ю. в среднем случается 7,5 % брака, а в городе Д. в среднем 2,5 % брака. а) Найдите вероятность того, что случайный аккумулятор в магазине окажется бракованным. б) Известно, что покупатель Чернов приобрел бракованный аккумулятор. Чему теперь равна вероятность того, что этот аккумулятор изготовлен в Ю.? Результат округлите до тысячных. в) Известно, что покупатель Серов приобрел хороший аккумулятор. Чему теперь равна вероятность того, что этот аккумулятор изготовлен в Д.? Результат округлите до тысячных.
Давайте решим задачу по шагам, учитывая, что это вероятностный расчет, связанный с условиями равновероятных событий и теоремой Байеса. Мы будем поэтапно вычислять все необходимые вероятности.
Обозначения:
\( A_Y \) — аккумулятор из города Ю
\( A_D \) — аккумулятор из города Д
\( P(A_Y) = 0.2 \) — вероятность, что аккумулятор изготовлен в Ю
\( P(A_D) = 0.8 \) — вероятность, что аккумулятор изготовлен в Д (оставшиеся 80%)
\( P(B|A_Y) \) — вероятность брака при изготовлении в Ю, = 7,5% = 0.075
\( P(B|A_D) \) — вероятность брака при изготовлении в Д, = 2,5% = 0.025
Следовательно, вероятность, что аккумулятор не бракован:
\( P( \neg B|A_Y) = 1 - 0.075 = 0.925 \)
\( P( \neg B|A_D) = 1 - 0.025 = 0.975 \)
a) Найти вероятность того, что случайный аккумулятор в магазине окажется бракованным
По формуле полной вероятности
\[ P(B) = P(B|A_Y) \cdot P(A_Y) + P(B|A_D) \cdot P(A_D) \]
Подставляем значения:
\[ P(B) = 0.075 \times 0.2 + 0.025 \times 0.8 = 0.015 + 0.02 = 0.035 \]
Ответ: вероятность того, что аккумулятор бракованный — 0.035, или 3.5%.
б) Известно, что покупатель Чернов приобрёл бракованный аккумулятор. Чему равна вероятность, что этот аккумулятор изготовлен в Ю?
Здесь применяется теорема Байеса:
\[ P(A_Y|B) = \frac{P(B|A_Y) \cdot P(A_Y)}{P(B)} \]
Подставляем значения:
\[ P(A_Y|B) = \frac{0.075 \times 0.2}{0.035} = \frac{0.015}{0.035} \approx 0.429 \]
Ответ: вероятность, что аккумулятор из Ю, при условии бракованности, примерно 0,429 (округлено до тысячных — 0,429).
в) Известно, что покупатель Серов приобрёл хороший аккумулятор, т.е. не бракованный. Чему теперь равна вероятность, что он изготовлен в Д?
Используем теорему Байеса для события "аккумулятор из Д" при условии, что он хороший:
\[ P(A_D|\neg B) = \frac{P(\neg B|A_D) \cdot P(A_D)}{P(\neg B)} \]
Для этого нам нужно найти \( P(\neg B) \):
\[ P(\neg B) = 1 - P(B) = 1 - 0.035 = 0.965 \]
Теперь считаем:
\[ P(A_D|\neg B) = \frac{0.975 \times 0.8}{0.965} = \frac{0.78}{0.965} \approx 0.808 \]
Ответ: вероятность, что аккумулятор изготовлен в Д при условии, что он хороший, примерно 0,808 (округлено до тысячных — 0,808).
Если есть дополнительные вопросы или нужен разбор других заданий — обращайтесь!
