Найдите значение выражения при x=-7
Рассмотрим выражение, которое нам нужно найти при \( x = -7 \):
\[ \frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 - 9} \div \frac{4x + 20}{2x + 6} \]
Перепишем его более понятно:
\[ \left( \frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 - 9} \right) : \left( \frac{4x + 20}{2x + 6} \right) \]
Деление дробей — это умножение первой дроби на обратную вторую:
\[ \frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 - 9} \times \frac{2x + 6}{4x + 20} \]
Теперь упростим каждую часть:
- Разложение на множители:
\( x^2 + 10x + 25 \) — это квадрат двучлена:
\[ x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 \]
\( x^2 - 9 \) — это разность квадратов:
\[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \]
\( 4x + 20 \) — вынесем общий множитель:
\[ 4x + 20 = 4(x + 5) \]
\( 2x + 6 \):
\[ 2x + 6 = 2(x + 3) \]
- Подставим в выражение и упростим:
\[ \frac{(x+5)^2}{(x - 3)(x + 3)} \times \frac{2(x + 3)}{4(x + 5)} \]
Теперь можно сократить общие множители:
\( (x + 5) \) в числителе и в знаменателе:
\[ \frac{(x+5)^2}{(x - 3)(x + 3)} \times \frac{2(x + 3)}{4(x + 5)} = \frac{(x+5)}{(x - 3)(x + 3)} \times \frac{2(x + 3)}{4} \]
\( (x + 3) \) в числителе и знаменателе:
\[ \frac{(x+5)}{(x - 3)} \times \frac{2}{4} \]
Упростим \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \):
\[ \frac{(x+5)}{(x - 3)} \times \frac{1}{2} \]
Итак, выражение упростилось до:
\[ \frac{(x+5)}{2(x - 3)} \]
- Подставим \( x = -7 \):
\[ \frac{(-7+5)}{2(-7 - 3)} = \frac{-2}{2 \times (-10)} = \frac{-2}{-20} = \frac{1}{10} \]
Ответ: \(\boxed{\frac{1}{10}}\)
