Высота правильной четырёхугольной пирамиды S A B C D SABCD равна диагонали основания и равна m m . Найди ∣ O S → + O D → ∣ ∣ OS + OD ∣ , где O O — точка пересечения диагоналей…

Рассмотрим задачу подробно и пошагово.

Дано:

• Высота правильной четырёхугольной пирамиды \( S \text{ABCD} \).
• \( S \) — вершина пирамиды.
• Основание \( ABCD \) — квадрат.
• Диагональ основания \( AC \) равна \( m \).
• Расстояние \( S \text{ABCD} \) по условию равно диагонали основания, то есть \( S \text{ABCD} = AC = m \).

Задачи:

• Нужно найти длину \( | \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OD} | \), где \( O \) — точка пересечения диагоналей основания.

---

Шаг 1. Анализ основания

Поскольку основание — квадрат с диагональю \( AC = m \):

• Длина стороны квадрата: \( a = \frac{m}{\sqrt{2}} \), потому что в квадрате диагональ равна \( a\sqrt{2} \).

Точка \( O \) — точка пересечения диагоналей квадрата \( ABCD \).
Она делит диагонали пополам.
Таким образом:

• \( O \) — центр квадрата.

---

Шаг 2. Координаты для упрощения

Положим центр квадрата \( O \) в начале координат:

• Пусть точка \( A \) имеет координаты \( \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right) \),
• Тогда \( C \) — \( \left( -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2} \right) \),
• Таким образом, \( O \) — это точка \( (0, 0) \).

Нам нужно найти вектора:

• \( \overrightarrow{OS} \) — от центра основания до вершины \( S \),
• \( \overrightarrow{OD} \) — от центра основания до вершины \( D \).

---

Шаг 3. Модель пирамиды

Пирамида — правильная, значит:

• Вершина \( S \) находится на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через \( O \),
• Расстояние от \( O \) до \( S \) равно высоте \( h \).

Обозначим высоту \( h \).
По условию: высота равна диагонали основания \( m \), значит: \[ h = m \]

---

Шаг 4. Координаты \( D \) и \( S \)

Пусть:

• \( D \) — одна из вершин квадрата.
• Координаты \( D \): \( \left( \frac{a}{2}, -\frac{a}{2} \right) \).

Точка \( D \) — на плоскости \( z=0 \).
Точка \( S \) — вершина, которая находится выше основания на высоте \( h = m \), и находится прямо над центром \( O \).
Поскольку \( S \) — вершина правильной пирамиды, она находится по перпендикуляру к плоскости основания.
Координаты \( S \): \[ (0, 0, h) = (0, 0, m) \]

---

Шаг 5. Векторы

• \( \overrightarrow{OS} = \) вектор от центра основания \( O \) (в точке \((0,0,0)\)) до \( S \): \[ \overrightarrow{OS} = (0, 0, m) \]

• \( D \) — в точке \( \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) = \left(\frac{m}{2\sqrt{2}}, -\frac{m}{2\sqrt{2}}, 0\right) \).

Вектор от \( O \) до \( D \): \[ \overrightarrow{OD} = \left(\frac{m}{2\sqrt{2}}, -\frac{m}{2\sqrt{2}}, 0\right) \]

---

Шаг 6. Находим сумму \( \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OD} \)

\[ \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OD} = (0 + \frac{m}{2\sqrt{2}}, 0 - \frac{m}{2\sqrt{2}}, m + 0) = \left(\frac{m}{2\sqrt{2}}, -\frac{m}{2\sqrt{2}}, m \right) \]

---

Шаг 7. Находим длину этого вектора

Длина: \[ |\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OD}| = \sqrt{ \left(\frac{m}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{m}{2\sqrt{2}}\right)^2 + m^2 } \]

Посчитаем каждую часть: \[ \left(\frac{m}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{m^2}{(2\sqrt{2})^2} = \frac{m^2}{4 \times 2} = \frac{m^2}{8} \]

Следовательно: \[ |\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OD}| = \sqrt{ 2 \times \frac{m^2}{8} + m^2 } = \sqrt{ \frac{2m^2}{8} + m^2 } = \sqrt{\frac{m^2}{4} + m^2} \]

Объединяем: \[ \frac{m^2}{4} + m^2 = \frac{m^2}{4} + \frac{4m^2}{4} = \frac{5m^2}{4} \]

Тогда: \[ |\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OD}| = \sqrt{\frac{5m^2}{4}} = \frac{\sqrt{5m^2}}{2} = \frac{m \sqrt{5}}{2} \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ \frac{m \sqrt{5}}{2} } \]

Вариант ответа:

\( \frac{m \sqrt{5}}{2} \)

---

Если в списке вариантов есть этот ответ, выберите его. В вашем случае — ответ: \( \frac{m \sqrt{5}}{2} \).