Высота правильной четырёхугольной пирамиды  S A B C D SABCD равна диагонали основания и равна  m m. Найди  ∣ O S → + O D → ∣ ∣ OS + OD ∣ , где  O O — точка пересечения диагоналей основания. Выбери верный вариант.  m 2 2 2 m 2 ​ ​   m 3 2 2 m 3 ​ ​   m 5 2 2 m 5 ​ ​   m 2 m 2 ​   m 3 m 3 ​   m 5 m 5 ​

Рассмотрим задачу подробно и пошагово. **Дано**: - Высота правильной четырёхугольной пирамиды \( S \text{ABCD} \). - \( S \) — вершина пирамиды. - Основание \( ABCD \) — квадрат. - Диагональ основания \( AC \) равна \( m \). - Расстояние \( S \text{ABCD} \) по условию равно диагонали основания, то есть \( S \text{ABCD} = AC = m \). Задачи: - Нужно найти длину \( | \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OD} | \), где \( O \) — точка пересечения диагоналей основания. --- ### Шаг 1. Анализ основания Поскольку основание — квадрат с диагональю \( AC = m \): - Длина стороны квадрата: \( a = \frac{m}{\sqrt{2}} \), потому что в квадрате диагональ равна \( a\sqrt{2} \). Точка \( O \) — точка пересечения диагоналей квадрата \( ABCD \). Она делит диагонали пополам. Таким образом: - \( O \) — центр квадрата. --- ### Шаг 2. Координаты для упрощения Положим центр квадрата \( O \) в начале координат: - Пусть точка \( A \) имеет координаты \( \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right) \), - Тогда \( C \) — \( \left( -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2} \right) \), - Таким образом, \( O \) — это точка \( (0, 0) \). Нам нужно найти вектора: - \( \overrightarrow{OS} \) — от центра основания до вершины \( S \), - \( \overrightarrow{OD} \) — от центра основания до вершины \( D \). --- ### Шаг 3. Модель пирамиды Пирамида — правильная, значит: - Вершина \( S \) находится на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через \( O \), - Расстояние от \( O \) до \( S \) равно высоте \( h \). Обозначим высоту \( h \). По условию: высота равна диагонали основания \( m \), значит: \[ h = m \] --- ### Шаг 4. Координаты \( D \) и \( S \) Пусть: - \( D \) — одна из вершин квадрата. - Координаты \( D \): \( \left( \frac{a}{2}, -\frac{a}{2} \right) \). Точка \( D \) — на плоскости \( z=0 \). Точка \( S \) — вершина, которая находится выше основания на высоте \( h = m \), и находится прямо над центром \( O \). Поскольку \( S \) — вершина правильной пирамиды, она находится по перпендикуляру к плоскости основания. Координаты \( S \): \[ (0, 0, h) = (0, 0, m) \] --- ### Шаг 5. Векторы - \( \overrightarrow{OS} = \) вектор от центра основания \( O \) (в точке \((0,0,0)\)) до \( S \): \[ \overrightarrow{OS} = (0, 0, m) \] - \( D \) — в точке \( \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) = \left(\frac{m}{2\sqrt{2}}, -\frac{m}{2\sqrt{2}}, 0\right) \). Вектор от \( O \) до \( D \): \[ \overrightarrow{OD} = \left(\frac{m}{2\sqrt{2}}, -\frac{m}{2\sqrt{2}}, 0\right) \] --- ### Шаг 6. Находим сумму \( \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OD} \) \[ \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OD} = (0 + \frac{m}{2\sqrt{2}}, 0 - \frac{m}{2\sqrt{2}}, m + 0) = \left(\frac{m}{2\sqrt{2}}, -\frac{m}{2\sqrt{2}}, m \right) \] --- ### Шаг 7. Находим длину этого вектора Длина: \[ |\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OD}| = \sqrt{ \left(\frac{m}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{m}{2\sqrt{2}}\right)^2 + m^2 } \] Посчитаем каждую часть: \[ \left(\frac{m}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{m^2}{(2\sqrt{2})^2} = \frac{m^2}{4 \times 2} = \frac{m^2}{8} \] Следовательно: \[ |\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OD}| = \sqrt{ 2 \times \frac{m^2}{8} + m^2 } = \sqrt{ \frac{2m^2}{8} + m^2 } = \sqrt{\frac{m^2}{4} + m^2} \] Объединяем: \[ \frac{m^2}{4} + m^2 = \frac{m^2}{4} + \frac{4m^2}{4} = \frac{5m^2}{4} \] Тогда: \[ |\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OD}| = \sqrt{\frac{5m^2}{4}} = \frac{\sqrt{5m^2}}{2} = \frac{m \sqrt{5}}{2} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{m \sqrt{5}}{2} } \] ### Вариант ответа: **\( \frac{m \sqrt{5}}{2} \)** --- Если в списке вариантов есть этот ответ, выберите его. В вашем случае — ответ: **\( \frac{m \sqrt{5}}{2} \)**.