.
Давайте решим задачу по шагам.
Задача: найти высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна \( 5 \sqrt{3} \).
Шаг 1: Что такое высота равностороннего треугольника?
Высота равностороннего треугольника — это перпендикуляр, проведённый из вершины к основанию. Он делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
Шаг 2: Свойства равностороннего треугольника
- Все стороны равны.
- Высота является одновременно медианой и биссектрисой.
- Высота делит сторону пополам.
Обозначим сторону треугольника: \[ a = 5 \sqrt{3} \]
Высота (обозначим её как \( h \)) делит сторону пополам: \[ \frac{a}{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{2} \]
Шаг 3: Используем теорему Пифагора
Для одного из образовавшихся прямоугольных треугольников:
- гипотенуза — сторона треугольника \( a \).
- прилежащий — половина стороны: \( \frac{a}{2} \).
- противолежащий — высота \( h \).
По теореме Пифагора: \[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]
Подставим цифры: \[ h = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2} \]
Шаг 4: Вычислим каждое из выражений
- \( (5\sqrt{3})^2 = 25 \times 3 = 75 \)
- \(\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(5\sqrt{3})^2}{4} = \frac{75}{4} \)
Подставим обратно: \[ h = \sqrt{75 - \frac{75}{4}} \]
Общий знаменатель у выражения под корнем: \[ h = \sqrt{\frac{75 \times 4}{4} - \frac{75}{4}} = \sqrt{\frac{300 - 75}{4}} = \sqrt{\frac{225}{4}} \]
Возьмем корень: \[ h = \frac{\sqrt{225}}{2} = \frac{15}{2} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{15}{2}} \]
или в виде смешанного числа: \[ 7 \frac{1}{2} \]
Если нужно записать более подробно или есть вопросы — пишите!
