.

Давайте разберём решение задачи.

Задача: нужно найти длину биссектрисы угла равнобедренного треугольника, проведённой из угла при основании, при условии, что боковая сторона равна 40 см, а основание — 10 см.

Шаг 1: Визуализация и обозначения

Обозначим:

• треугольник как \( ABC \),
• \( AB = AC = 40 \) см (боковые стороны),
• основание \( BC = 10 \) см,
• точка \( D \) — точка, в которой биссектриса \( AD \) делит угол \( A \).

Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании равны, и биссектриса, проведённая из вершины \( A \) к \( BC \), также является медианой и высотой.

Шаг 2: Нахождение длины основания \( BD \)

Поскольку биссектриса делит угол на два равных, и треугольник равнобедренный, то точка делит основание так, что: \[ BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} \]

Шаг 3: Нахождение высоты \( AD \)

В треугольнике \( ABD \):

• \( AB = 40 \) см,
• \( BD = 5 \) см,
• \( AD \) — высота и биссектриса.

Используем теорему Пифагора: \[ AB^2 = AD^2 + BD^2 \] \[ 40^2 = AD^2 + 5^2 \] \[ 1600 = AD^2 + 25 \] \[ AD^2 = 1600 - 25 = 1575 \] \[ AD = \sqrt{1575} \]

Для удобства можно оставить как есть или упростить: \[ AD \approx \sqrt{1575} \approx 39.7 \text{ см} \]

Шаг 4: Нахождение длины биссектрисы \( AD \)

Или, исходя из задачи, нам нужна длина самой биссектрисы, которая равна высоте в этом случае (так как в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины при основании, является высотой).

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Длина биссектрисы} \approx 39.7 \text{ см} } \]

Если нужно было более точное округление, можно оставить так или округлить до целого числа — 40 см.

Если есть вопросы или нужен более подробный разбор — скажите!