Задание 1. Даны три высказывания: А: «Число х делится на 3» В: «Число х делится на 6» С: «Число х чётно» Какие из следующих высказываний истинны при любом значении х: а) А В б) В А с) В С Задание 2. Пусть N – натуральное число. Даны утверждения: А: «N делится на 3» B: «N делится на 9» С: «Сумма цифр числа N делится на 3» D: «Сумма цифр числа N делится на 9» E: «Число N является натуральной степенью числа 2» Составьте из этих утверждений два взаимно обратных условных утверждения: а) так, чтобы оба были истинными высказываниями; б) так, чтобы одно из них было истинным, а обратное могло оказаться ложным; в) так, чтобы оба утверждения оказались ложными высказываниями.

Давайте подробно разберем каждое задание. --- ### Задание 1. Анализ высказываний о числе х Дано: - А: «Число х делится на 3». - В: «Число х делится на 6». - С: «Число х чётно». Обратите внимание: - В числе, делящемся на 6, обязательно делится и на 3, и на 2, потому что 6 — это 2×3. - Число, делящееся на 3, может быть чётным или нечётным. **Вычислим логические соединения:** а) А В — это "А И В" (оба утверждения должны быть истинны). - Чтобы оба были истинными, число должно делиться на 3 **и** на 6. - Если число делится на 6, то оно обязательно делится на 3 (так как 6 — 2×3). - Следовательно, **при любом значении х, если число делится на 6, то оно точно делится на 3**, то есть, если А и В истинны одновременно, то В истинно, а А автоматично — тоже истинно. - **Ответ:** выражение "А В" (А И В) — **всегда истинно** при любом х, для которых В истинно. Но при любом х, для которых В — истина, А тоже истина. Значит, **А В — всегда истинно**, если В истинно. **Вывод:** при любом х, если В — истина, тогда и А верно. А значит, выражение **"А В" — всегда истинно** (при условии, что В истинно). б) В А — «В И А»: число делится на 6 и на 3. - Аналогично предыдущему, если число делится на 6, оно делится и на 3. - **Это тоже всегда истинно при любых х, при которых В и А истинны.** с) В С — «В И С»: число делится на 6 и при этом чётно. - Четность числа, делящегося на 6, = **да**, потому что число делится на 2 (по условию делимости на 6). - А значит, В и С одновременно — истина, если число делится на 6, тогда оно обязательно чётно (С). - Следовательно, **при любом х, если В истинно, то и С истинно.** Взаимная проверка: - Если число делится на 6, то оно чётное, и делится на 6 → В и С — правда. - **Следовательно, "В С" — всегда истинно** при любом х, для которых В верно. --- ### Итог по Заданию 1: - а) А В — **всегда истинно** при условии, что В истинно. В общем случае, да, так как деление на 6 включает деление на 3. - б) В А — аналогично, всегда истинно. - с) В С — также **всегда истинно** при делимости на 6 (В), потому что число автоматически чётное (С). --- ### Задание 2. Составление взаимно обратных условных утверждений из утверждений о натуральном числе N Дано: - А: «N делится на 3» - B: «N делится на 9» - С: «Сумма цифр числа N делится на 3» - D: «Сумма цифр числа N делится на 9» - E: «Число N является натуральной степенью числа 2» --- ### Объяснение: - Из теории делимости: - N делится на 3, если сумма его цифр делится на 3 (А ⇔ С). - N делится на 9, если сумма цифр делится на 9 (B ⇔ D). - Условие "N делится на 3" (А) и "Сумма цифр делится на 3" (С): эти утверждения логически эквивалентны. --- ### Часть а): **Составьте два взаимно обратных истинных высказывания** - Взаимно обратные — это выражения вида: "Если А, то В" и "Если не В, то не А". - Так как А и С эквивалентны, можно взять их взаимно обратные формы: **Первое:** - Если N делится на 3 (А), то сумма цифр делится на 3 (С). - В формат: **"Если А, то С"**. Это истинно, так как это эквивалентность. - Обратное: **"Если сумма цифр не делится на 3", то N не делится на 3"**. - Проверка: это тоже истинно по свойствам делимости. **Ответ:** - Первое утверждение: **"Если N делится на 3, то сумма цифр делится на 3"** - Взаимное: **"Если сумма цифр не делится на 3, то N не делится на 3"** --- ### Часть б): **Одно истинное, а обратное — ложное**. - Можно взять, например: - "Если N делится на 9 (B), то сумма цифр делится на 9 (D)". - Это истинно. А обратное: "Если сумма цифр не делится на 9, то N не делится на 9" — тоже истинно. Нам нужно противоположное, чтобы обратное было ложно, значит, возьмем: - Переформулируем так: - "Если N делится на 9 (B), то сумма цифр делится на 9 (D)" — **истинно**. - Обратное: "Если сумма цифр не делится на 9, то N не делится на 9" — тоже **истинно**. Это не подходит, нужно противоположное. Тогда возьмем: - Вариант: - "Если N делится на 9, то сумма цифр делится на 9" — **Истина**. - Обратное: "Если сумма цифр делится на 9, то N делится на 9" — **не обязательно истинно** (т.к. есть числа, где сумма цифр делится на 9, а число не делится на 9 — не существует, в данной теории, потому что B ⇔ D эквивалентны, взяли выше). Тогда попробуем другой пример — проще: - Возьмем утверждение: - А: "N делится на 3" - С: "Сумма цифр делится на 3" - Этот пар является истинным и взаимно обратным. Для противоположности можно оставить: *Значит, для варианта:* - Истинное утверждение: "Если N делится на 3, то сумма цифр делится на 3" - Ложно обратное: "Если сумма цифр делится на 3, то N делится на 3" — это тоже истинно, поэтому не подходит. Требуется другое. **В итоге:** Можно взять более сильные утверждения и их отрицания, чтобы добиться нужных условий. --- ### Часть в): **Оба ложны** - Тогда взять неверный пример: - "N делится на 5, то сумма цифр делится на 2" — это ложное утверждение. Обратное тоже будет ложным. или, более конкретно: - "N делится на 4, то сумма цифр делится на 2" — ложное. - Обратное "Если сумма цифр делится на 2, то N делится на 4" — также, скорее всего, ложно. --- ### Итог: - a) Взаимно обратные истинные: - "Если N делится на 3, то сумма цифр делится на 3" и "Если сумма цифр не делится на 3, то N не делится на 3". - b) Одно истинное, другое ложное: - Вариант с делимостью на 9: "Если N делится на 9, то сумма цифр делится на 9" — истинно. - Обратное: "Если сумма цифр делится на 9, то N делится на 9" тоже истинно, нужно подобрать другой пример, где обратное — ложное, например: - "Если N делится на 5, то сумма цифр делится на 2" (ложно), обратное: - "Если сумма цифр делится на 2, то N делится на 5" — тоже ложное, так как эти утверждения не связаны напрямую. - в) Оба ложны: - "N делится на 4, то сумма цифр делится на 2" — ложное. - "Если сумма цифр делится на 2, то N делится на 4" — тоже ложное. --- Если нужно, я могу дополнительно подготовить более точные версии для каждого варианта. --- Если есть дополнительные вопросы по этим заданиям — пишите!